Aprende con Inteligencia

Calcular la integral indefinida:
$$\int \frac{dx}{(1 + x^2)^{3/2}}$$

Sea
$$ g(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + x \tan x - x \tan 2x}{ax + \tan x - \tan 3x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} $$
Si $g'(0)$ existe y es igual a un valor no nulo $b$, entonces $52 \frac{b}{a}$ es igual a:

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{\cos x - \sin x + 1 - e^x}{e^x + \sin x + x} dx $$

Para la función $f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 6$, $f(x)$ es:
$$ \begin{array}{ll} \text{(a) } \text{uno-uno y sobreyectiva (onto)} & \text{(b) } \text{uno-uno e inyectiva (into)} \\ \text{(c) } \text{muchos-uno y sobreyectiva (onto)} & \text{(d) } \text{muchos-uno e inyectiva (into)} \end{array} $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^2(x - \sqrt{x^2 + 9})} $$

Evaluar la integral:
$$ \int x^{-1/2} (2 + 3x^{1/3})^{-2} \, dx $$

Si la función está definida como $f(x) = 2 \arcsin \sqrt{1-x} + \arcsin(2\sqrt{x(1-x)})$, donde $x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$, entonces el valor de $f'(x)$ es:

a. $\frac{2}{\sqrt{x(1-x)}}$      b. zero      c. $-\frac{2}{\sqrt{x(1-x)}}$      d. $\pi$

Paso 1:
Demuestre: Si $f(x)$ está definida para todo $x$ cerca de $x = a$ y tiene un límite cuando $x \to a$, dicho límite es único. (Sugerencia: Suponga que $\lim_{x \to a} f(x) = A$, $\lim_{x \to a} f(x) = B$, con $B \neq A$. Elija $\epsilon_1, \epsilon_2 < \frac{1}{2} |A - B|$. Determine $\delta_1$ y $\delta_2$ para los dos límites y tome $\delta$ como el menor entre $\delta_1$ y $\delta_2$. Muestre que entonces $|A - B| = |[A - f(x)] + [f(x) - B]| < |A - B|$, lo cual es una contradicción).

Evaluar:
$$ \int \frac{\sin x}{\sin(x - a)} dx $$

Encontrar dominio, rango y graficar la siguiente función:
$$f(x) = \begin{cases} |-2 + \llbracket 2x+1 \rrbracket - \operatorname{sgn}(x^2 - 1)| & ; -2 \le x < 1 \\ \sqrt{x^2 + 2x} & ; 1 \le x < 2 \\ \left\llbracket \frac{2x-1}{3x+5} \right\rrbracket & ; 2 \le x < 10 \end{cases}$$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x + 1)^3 \sqrt{x^2 + 2x + 4}} $$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{\sin^6 x + \cos^6 x}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} dx$