Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Una escalera de $20\text{ pies}$ de largo está apoyada contra una casa. Encuentre las razones a las cuales (a) la parte superior de la escalera se mueve hacia abajo si su pie está a $12\text{ pies}$ de la casa y se aleja a razón de $2\text{ pies/seg}$ y (b) la pendiente de la escalera está disminuyendo.

Evaluar:
$$ \int \cos^7 x dx $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x + 3) \sqrt{x}} $$

Calcular la integral definida:
$$\int_0^6 \sqrt{6x - x^2} dx$$

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \cot^{7} x \, dx $$

Sea \( f(x) \) una función tal que \( f(0) = f'(0) = 0 \), \( f''(x) = \sec^4 x + 4 \), la función es:

(a) \( \log(\sin x) + \frac{1}{3} \tan^3 x + cx \)

(b) \( \frac{2}{3} \log(\sec x) + \frac{1}{6} \tan^2 x + 2x^2 \)

(c) \( \log(\cos x) + \frac{1}{6} \cos^2 x + \frac{x^2}{5} \)

(d) none.

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x^2 + 3)^3} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{(2x + 3)}{(x + 1)\sqrt{x^2 + 2x + 9}} dx $$

Calcular:
$$ \int \frac{dx}{x(x^4 + 1)} $$

Si $y\sqrt{x^2+1} = \log(\sqrt{x^2+1} - x)$, entonces el valor de $(x^2+1)\frac{dy}{dx} + xy + 1$ es:

a. $0$      b. $1$      c. $2$      d. ninguna de estas

Calcular la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^2(x^4 + 1)^{3/4}} $$

Paso 1:
Probar el teorema complementario para una función decreciente: Si $f'(x_0) < 0$, entonces $f(x)$ es decreciente en $x_0$.