Aprende con Inteligencia

Sea \( f(x) \) una función tal que \( f(0) = f'(0) = 0 \), \( f''(x) = \sec^4 x + 4 \), la función es:

(a) \( \log(\sin x) + \frac{1}{3} \tan^3 x + cx \)

(b) \( \frac{2}{3} \log(\sec x) + \frac{1}{6} \tan^2 x + 2x^2 \)

(c) \( \log(\cos x) + \frac{1}{6} \cos^2 x + \frac{x^2}{5} \)

(d) none.

Si $f$, $g$, y $h$ son funciones derivables de $x$ y se define:
$$\Delta(x) = \begin{vmatrix} f & g & h \\ (xf)' & (xg)' & (xh)' \\ (x^2 f)' & (x^2 g)' & (x^2 h)' \end{vmatrix}$$
entonces demuestre que:
$$\Delta'(x) = \begin{vmatrix} f & g & h \\ f' & g' & h' \\ (x^3 f'')' & (x^3 g'')' & (x^3 h'')' \end{vmatrix}$$

Resuelva:
$$\int_0^{10} [x] \left( \max_{k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}} \frac{x^k}{k!} \right) dx$$

Evaluar la integral:
$$ \int \sqrt[3]{x} \times \sqrt[7]{(1 + \sqrt[3]{x^4})} \, dx $$

Paso 1:
La función $f(x) = \frac{x-1}{ax^2 + bx + c}$ tiene un punto de inflexión en $(-2, -1)$ y un extremo relativo en $x = 1 + \sqrt{3}$. Halle $a, b, c$.

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{x(x^5 - 1)} $$

Paso 1:
$$y = \frac{1}{2}x\sqrt{3-4x^2} + \frac{3}{4}\text{arcsen}\left(\frac{2x\sqrt{3}}{3}\right)$$

Paso 1:
Una luz se encuentra en la parte superior de un poste de 80 ft de altura. Una bola se deja caer desde la misma altura desde un punto a 20 ft de la luz. Suponiendo que la bola cae según la ley $s = 16t^2$, ¿a qué velocidad se desplaza la sombra de la bola a lo largo del suelo 1 s después?

Calcular la integral indefinida:
$$\int \sqrt{(\sin(20x) + 3\sin(21x) + \sin(22x))^2 + (\cos(20x) + 3\cos(21x) + \cos(22x))^2} \, dx$$

Evaluar:
$$ \int \frac{\sqrt{x}}{x + 1} dx $$

Calcule:
$$\int \frac{2x+1}{2x^2 + 2x + 1} \, dx$$

Si $x = A \sin kt + B \cos kt$ donde $A, B$ y $k$ son constantes, demostrar que:
$$ \frac{d^2x}{dt^2} = -k^2x \quad \text{y} \quad \frac{d^{2n}x}{dt^{2n}} = (-1)^n k^{2n} x $$