Aprende con Inteligencia

Halle la integral:
$$ \int \Bigl(2020\,\sen^{2019}x\,\cos^{2019}x -8084\,\sen^{2021}x\,\cos^{2021}x\Bigr)\,dx. $$

Si $y = \sqrt{\log x + \sqrt{\log x + \sqrt{\log x + \cdots \infty}}}$, determine $\frac{dy}{dx}$:

a. $\frac{x}{2y-1}$
b. $\frac{x}{2y+1}$
c. $\frac{1}{x(2y-1)}$
d. $\frac{1}{x(1-2y)}$

El valor de la integral $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) dx$, donde $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$, es:

(a) $\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} - \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(b) $\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(c) $-\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} - \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(d) $-\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$

Evaluar:
$$ \int \frac{x dx}{x + \sqrt{x^2 - 1}} $$

Paso 1:
Evaluar: $\int \sin 2x \, dx$

Encuentre la derivada de:
$$ y = \left( \frac{x^3 - 1}{2x^3 + 1} \right)^4 $$

Evalúe:
$$\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{\sin(x) + \sec(x)} \, dx$$

Paso 1:
La gráfica de $f(x) = |2x|$ es tangente en dos puntos al círculo de centro $(0, k)$ y radio $1$. Calcular el área de la región que se encuentra entre las dos curvas.

Paso 1:
Si $f(x) = \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{13}} (2 \cos x - 3 \sin x) + \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{13}} (2 \cos x + 3 \sin x)$, encuentra $df(x)/dx$ en $x = 3/4$.

Resolver la siguiente integral:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt{(x+1)^3 (x-1)}} $$

Calcular la integral:
$$ \int \frac{x \cos x + 1}{\sqrt{2x^3 e^{\sin x} + x^2}} dx = $$

(a) \( \log \left( \frac{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} - 1}{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} + 1} \right) + c \)

(b) \( \log \left( \frac{\sqrt{2x e^{\sin x} - 1} + 1}{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} + 1} \right) + c \)

(c) \( \log \left( \frac{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} + 1}{\sqrt{2x e^{\sin x} - 1} + 1} \right) + c \)

(d) \( \log \left( \frac{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} + 1}{\sqrt{2x e^{\sin x} - 1} - 1} \right) + c \)

Dada la ecuación $x^n - 1 = 0$ con raíces $1, a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$, determine el valor de:
$$\sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{1 - a_r}$$

$$ \begin{array}{llll} \text{a) } n/4 & \text{b) } \frac{n(n-1)}{2} & \text{c) } \frac{n-1}{2} & \text{d) } \text{none of these} \end{array} $$