Aprende con Inteligencia

Calcular $\frac{dy}{dx}$ para $y = \tan^{-1} \left\{ \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}} \right\}$, donde $0 < x < \pi$.

1. [a.] $-1/2$
2. [b.] $0$
3. [c.] $1$
4. [d.] $-1$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^2(a - bx)^2} $$

Paso 1:
Para la función $f(x) = 5x - 6$, encuentre un $\delta > 0$ tal que siempre que $0 < |x - 4| < \delta$, entonces $|f(x) - 14| < \epsilon$, cuando (a) $\epsilon = \frac{1}{2}$ y (b) $\epsilon = 0.001$.

Analizar la continuidad de la función $f(x)$ en el punto $X_0 = \frac{\pi}{4}$:
$$f(x) = \frac{e^x \sin^2 x}{\tan^2 x \cos^2 x (1 - \sin x)}$$

Demostrar: El punto de contacto de una tangente a una hipérbola es el punto medio del segmento de la tangente comprendido entre las asíntotas.

\begin{solucion}
Para simplificar la demostración sin pérdida de generalidad, utilizaremos la ecuación de la hipérbola referida a sus asíntotas como ejes coordenados, cuya ecuación es $xy = c^2$. En este sistema, las asíntotas son los ejes $x$ e $y$.

1. Datos del problema:

• Ecuación de la hipérbola: $y = \frac{c^2}{x}$
• Punto de tangencia: $P_0(x_0, y_0)$, donde $y_0 = \frac{c^2}{x_0}$.
• Asíntotas: Rectas $x = 0$ (eje $y$) y $y = 0$ (eje $x$).

2. Pendiente de la tangente:
Derivamos la función $y = c^2 x^{-1}$ con respecto a $x$:
$$ \frac{dy}{dx} = -c^2 x^{-2} = -\frac{c^2}{x^2} $$
En el punto $P_0(x_0, y_0)$, la pendiente $m$ es:
$$ m = -\frac{c^2}{x_0^2} $$

3. Ecuación de la recta tangente:
Usando la forma punto-pendiente $y - y_0 = m(x - x_0)$:
$$ y - \frac{c^2}{x_0} = -\frac{c^2}{x_0^2}(x - x_0) $$
Multiplicando toda la ecuación por $x_0^2$:
$$ x_0^2 y - x_0 c^2 = -c^2 x + x_0 c^2 \implies c^2 x + x_0^2 y = 2x_0 c^2 $$
Dividiendo entre $c^2$:
$$ x + \frac{x_0^2}{c^2} y = 2x_0 $$
Como $y_0 = \frac{c^2}{x_0}$, entonces $\frac{x_0}{y_0} = \frac{x_0^2}{c^2}$. Sustituyendo:
$$ x + \frac{x_0}{y_0} y = 2x_0 \implies \frac{x}{2x_0} + \frac{y}{2y_0} = 1 $$

4. Intersecciones con las asíntotas:

• Intersección con el eje $x$ ($y=0$): $A(2x_0, 0)$.
• Intersección con el eje $y$ ($x=0$): $B(0, 2y_0)$.

5. Punto medio del segmento $AB$:
Calculamos el punto medio $M$ del segmento comprendido entre las asíntotas:
$$ M = \left( \frac{2x_0 + 0}{2}, \frac{0 + 2y_0}{2} \right) = (x_0, y_0) $$
El punto medio $M$ coincide exactamente con el punto de contacto $P_0$.

$$ \boxed{M = P_0(x_0, y_0)} $$
\end{olucion}

Hallar el ángulo que forman en sus intersecciones las curvas:
$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \quad ; \quad x^2 - y^2 = 1$$

Calcular:
$$ \int \sqrt{1 + 2\cot x(\cot x + \csc x)} \, dx $$

(a) $2\ln(\cos(x/2)) + c$ \\
(b) $2\ln(\sin(x/2)) + c$ \\
(c) $\frac{1}{2}\ln(\sin(x/2)) + c$ \\
(d) None.

Calcular:
$$ \int e^{(x \sin x + \cos x)} \left( \frac{x^4 \cos^3 x - x \sin x + \cos x}{x^2 \cos^2 x} \right) dx $$

(a) $e^{(x \sin x + \cos x)} \left( x - \frac{1}{x \cos x} \right) + c$
(b) $e^{(x \sin x + \cos x)} \left( \frac{1}{x \cos x} \right) + c$
(c) $e^{(x \sin x + \cos x)} \left( \frac{1}{x \cos x} - x \right) + c$
(d) $e^{(x \sin x + \cos x)} \left( \frac{1}{x \cos x} + x \right) + c$

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{x^x(1 + \ln x)}{x^x + 1} \, dx $$

Evalúe:
$$\int \frac{dx}{x^2(x^4 + 1)^{3/4}}$$

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \sec^3 x \, dx $$

Calcule el valor de la siguiente integral impropia:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{x(e^{-x} + 1)}{e^x - 1} dx$$
Demuestre que el resultado es $\frac{\pi^2}{3} - 1$.