Aprende con Inteligencia

Calcular la integral:
$$\int \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}} dx$$

Paso 1:
Una escalera de $20\text{ pies}$ de largo está apoyada contra una casa. Encuentre las razones a las cuales (a) la parte superior de la escalera se mueve hacia abajo si su pie está a $12\text{ pies}$ de la casa y se aleja a razón de $2\text{ pies/seg}$ y (b) la pendiente de la escalera está disminuyendo.

Evaluar:
$$ \int \tan^2 x \, dx $$

Calcular el siguiente límite ($m, n, u, v$ son números enteros):
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\sqrt[n]{1+ux} \cdot \sqrt[m]{1+vx} - 1}{\sqrt[m]{1+ux} - \sqrt[n]{1+vx}} \right]$$

Paso 1:
Halle la pendiente de la curva $y = \frac{4}{x + 1}$ en el punto $x = 1$.

Si $x = A \sin kt + B \cos kt$ donde $A, B$ y $k$ son constantes, demostrar que:
$$ \frac{d^2x}{dt^2} = -k^2x \quad \text{y} \quad \frac{d^{2n}x}{dt^{2n}} = (-1)^n k^{2n} x $$

Escriba una demostración detallada del siguiente límite:
$$ \lim_{n \to \infty} \left( 3 - \frac{23}{n} \right)^3 = 27 $$

Paso 1:
La función $f(x) = \frac{x-1}{ax^2 + bx + c}$ tiene un punto de inflexión en $(-2, -1)$ y un extremo relativo en $x = 1 + \sqrt{3}$. Halle $a, b, c$.

Si $y\sqrt{x^2+1} = \log(\sqrt{x^2+1} - x)$, entonces el valor de $(x^2+1)\frac{dy}{dx} + xy + 1$ es:

a. $0$      b. $1$      c. $2$      d. ninguna de estas

Paso 1:
Probar el teorema complementario para una función decreciente: Si $f'(x_0) < 0$, entonces $f(x)$ es decreciente en $x_0$.

Evaluar la integral impropia:
$$\int_0^\infty \frac{dx}{2 + \cosh x}$$

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{\sin 2x}{\sin 5x \cdot \sin 3x} \, dx $$