Aprende con Inteligencia

Paso 1:
iv) (5\%) Hallar el conjunto solución de: $\left| \frac{3|x|-x}{x+1} \right| < \frac{1}{x+1}$

Evaluar:
$$ \int \frac{(1 + \ln x)^3}{x} \, dx $$

Si $f(x) = |\sin x - |\cos x||$, entonces el valor de $f'(x)$ en $x = 7\pi/6$ es:

a. positivo      b. $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$      c. 0      d. ninguna de estas

1.- a) Analice si $f(x) = (x - 1)^2$, $x \in [-1, 3]$ verifica o no el Teorema de Rolle.
b) Justificando su respuesta analice si existe $L = \lim_{x \to 3} \frac{x}{x - 3}$.
c) Explique cuándo resulta necesario usar la derivación implícita para calcular $y'$.
d) Si $\ln(y - 2) = x$ analice si existe relación o no entre las derivadas $\frac{dy}{dx}$, $\frac{dx}{dy}$.

2.- Para la función definida en notación paramétrica:
$$ \begin{cases} x = 3t^2 - 2t \\ y = 2t^3 - t^2 \end{cases} $$
hallar el valor reducido de la expresión: $(y')^2 - 2(y')^3 + y$

3.- Deducir la expresión de la derivada n-ésima para $f(x) = \frac{x}{(x - 4)^2}$.

5.- Calcular la integral: $I = \int x^2 \ln\left( \frac{2 + 3x}{2 - 3x} \right) dx$.

Resuelva los siguientes apartados teóricos:

1. [a)] Verifique el teorema de Rolle para la función $f(x) = 2x^3 - 3x - 2$ en el intervalo $x \in [-1, 2]$.
2. [b)] Calcule $y'|_{P(1,1)}$ en la expresión implícita: $y^x = x^y$.
3. [c)] Halle los valores $a, b$ para que $f(x)$ sea derivable en todos los reales:
   $$f(x) = \begin{cases} 3ax^2 + b & , x \ge 1 \\ x^4 - 1 & , x < 1 \end{cases}$$

Paso 1:
Examine $y = x^3 - 3px + q$ para valores máximos y mínimos relativos.

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{dx}{x(2 + 3x^{3})}$

Calcule:
$$\int \sqrt{\frac{x}{1-x^3}} dx$$

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\cot(a+2x) - 2\cot(a+x) + \cot(a)}{x^2} \right]$$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{\sin 2x}{\sin 5x \cdot \sin 3x} dx$

Calcule la integral indefinida:
$$\int x^{1/4} \log(x) \, dx$$

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(1) = 3$ y $f'(1) = 6$. Entonces el valor de:
$$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{f(1+x)}{f(1)} \right)^{1/x} $$
es:
$$ \begin{array}{llll} \text{(a) } 1 & \text{(b) } e^{1/2} & \text{(c) } e^2 & \text{(d) } e^3 \end{array} $$