Aprende con Inteligencia

Sea el dominio de dos sucesiones $(s_n)$ y $(t_n)$ los enteros positivos y sea $s_n \to 2$, $t_n \to 2 + \delta$, donde $\delta$ es el número $10^{-5820}$. Ahora defina una nueva sucesión:
$$ u_n = \begin{cases} s_n & \text{si } n \text{ no es un múltiplo de 3,} \\ t_n & \text{si } n \text{ es un múltiplo de 3.} \end{cases} $$
Así, los primeros términos de la sucesión $(u_n)$ se ven así: $s_1, s_2, t_3, s_4, s_5, t_6, s_7, \dots$. ¿Es $(u_n)$ una sucesión convergente? Explique.

Sea $f(x) = e^{-1/x}$, donde $x > 0$. Sea $P_n$ el polinomio tal que $\frac{d^n f(x)}{dx^n} = P_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x}$ para todo $n$ entero positivo y $x > 0$. Demuestre que:
$$ P_{n+1}(x) = x^2 \left[ P_n(x) - \frac{d}{dx}P_n(x) \right] $$

Hallar $(f \circ g)(x)$ si:
$$f(x)=\begin{cases} x^2 & ; \quad -4 \le x < -1 \\ 5x+4 & ; \quad -1 \le x < 2.25 \end{cases}$$
$$g(x)=\begin{cases} 2x-4 & ; \quad -2.25 \le x < 1 \\ x^2+1 & ; \quad 1 \le x < 4 \end{cases}$$

Hallar el valor de la integral:
$$ \int \tan^3 2x \cdot \sec 2x \, dx $$

Si $y = \tan^{-1} \left( \frac{\log(e/x^2)}{\log(ex^2)} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{3 + 2\log x}{1 - 6\log x} \right)$, entonces $\frac{d^2y}{dx^2}$ es:

1. [a.] $2$
2. [b.] $1$
3. [c.] $0$
4. [d.] $-1$

Halle la integral:
$$\int (\sqrt{x+1} - \sqrt{x})^\pi \, dx$$

Paso 1:
OPTATIVA: Se traza una circunferencia de centro $(6,0)$ con radio $R$ tal que el círculo corta en ángulo recto a la elipse $4x^2 + 9y^2 = 36$. Hallar el radio de la circunferencia.

Evaluar la siguiente integral:
$$ \int \frac{\sin^3 x}{(\cos^4 x + 3\cos^2 x + 1)\arctan(\sec x + \cos x)} \, dx $$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(4x^2 + 4x + 1)\sqrt{4x^2 + 4x + 7}} $$

Si $x = \log p$ y $y = \frac{1}{p}$, entonces:

a. $\frac{d^2y}{dx^2} - 2p = 0$      b. $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$      c. $\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = 0$      d. $\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$

Calcular la integral:
$$\int \sinh(x)^{-2} dx$$

Calcular la integral indefinida:
$$\int \frac{1 + \cos x}{x + \sin x} \, dx$$