Aprende con Inteligencia

Calcular la integral indefinida:
$$ \int \frac{dx}{1 - \sin x} $$

Para cada una de las siguientes expresiones, calcule $dy/dx$ por dos métodos diferentes y compruebe que los resultados sean iguales:
(a) $x = (1 + 2y)^3$
(b) $x = 1/(2 + y)$

Hallar los puntos de máxima curvatura de las siguientes funciones:
(a) $y = e^{x}$
(b) $y = \frac{x^3}{3}$

El valor de la integral $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) dx$, donde $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$, es:

(a) $\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} - \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(b) $\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(c) $-\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} - \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(d) $-\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$

Calcular la integral indefinida:
$$ \int \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}\right) dx $$

Si $x = A \sin kt + B \cos kt$ donde $A, B$ y $k$ son constantes, demostrar que:
$$ \frac{d^2x}{dt^2} = -k^2x \quad \text{y} \quad \frac{d^{2n}x}{dt^{2n}} = (-1)^n k^{2n} x $$

Una función diferenciable satisface $3f^2(x)f'(x) = 2x$. Dado que $f(2) = 1$, halle el valor de $f(3)$.

(a) $\sqrt[3]{24}$ \\
(b) $\sqrt[3]{6}$ \\
(c) 6 \\
(d) 2.

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{\sin 2x}{\sin 5x \cdot \sin 3x} \, dx $$

Paso 1:
La derivada de $\sec^{-1}\left(\frac{1}{2x^2 - 1}\right)$ con respecto a $\sqrt{1 - x^2}$ en $x = \frac{1}{2}$ es:

Paso 1:
Evaluate: $\int \left( \frac{x^4 - 3}{x^2 + 1} \right) dx$

El valor de la integral $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) dx$, donde $x \in \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$, es:

(a) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\cos x - \sin x) + c$
(b) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + c$
(c) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x + \cos x) + c$
(d) $-\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x + \cos x) + c$

Paso 1:
Demostrar que las curvas $y = x^3 + 2$ y $y = 2x^2 + 2$ tienen una tangente común en el punto $(0, 2)$ e intersecan a un ángulo $\phi = \arctan \frac{4}{97}$ en el punto $(2, 10)$.