Aprende con Inteligencia

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{x^x(1 + \ln x)}{x^x + 1} \, dx $$

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)$$

Paso 1:
Si $F = 1/r^2$ y $F$ se mide como $4 \pm 0.05$, encuentre $r$.

Evalúe la integral en todo el eje real:
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x^2-5x-3} dx$$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{\cos x - \sin x + 1 - x}{e^x + \sin x + x} \, dx $$

Calcule el límite $L = \lim_{x \to -2} f(x)$, si:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\lfloor x-1 \rfloor - x}{\sqrt{x - \lfloor x \rfloor}} & ; \quad -9 \leq x < -2 \\ \frac{\lfloor 3x \rfloor - 3\lfloor x \rfloor - 8\lfloor x/3 \rfloor}{x - |x|} & ; \quad -2 \leq x < 7 \end{cases}$$

En lugar de la definición habitual de derivada $Df(x)$, definimos un nuevo tipo de derivada $D^*f(x)$ mediante la fórmula:
$$ D^*f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^2(x+h) - f^2(x)}{h} $$
donde $f^2(x)$ significa $[f(x)]^2$. Si $f(x) = x \ln x$, halle el valor de $\left. D^*f(x) \right|_{x=e}$.

a. $e$      b. $2e$      c. $4e$      d. Ninguna de las anteriores

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int 5^{5^{5^x}} \cdot 5^{5^x} \cdot 5^x \, dx $$

Paso 1:
Examine la ecuación $2x^2 - 4xy + 3y^2 - 8x + 8y - 1 = 0$ para encontrar sus puntos máximos y mínimos.

Para cada una de las siguientes sucesiones, determine si converge y, de ser así, determine también su límite. Justifique su respuesta.
$$ \begin{array}{ll} \text{(i) } t_n = \dfrac{n^2}{n^2 - 1,000} & \text{(ii) } a_n = \sin(n\pi/2) \\ \text{(iii) } t_n = \dfrac{1}{n} \sin(n\pi/2) & \text{(iv) } t_n = \dfrac{an + b}{cn + d}, \text{ donde } a,b,c,d \neq 0 \end{array} $$

Use la regla de la cadena para hallar $dy/dx$:
$y = \sqrt{1 + u}$, $u = \sqrt{x}$

Calcule la integral definida:
$$\int_0^1 \sin(\cos^{-1}(x)) \, dx$$