Aprende con Inteligencia

Resuelva:
$$\int [\sin(x + \sin x) - \sin(x - \sin x)] dx$$

Si $\sin^{-1} \left( \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} \right) = \log a$, entonces $\frac{dy}{dx}$ es igual a:

• [a.] $\frac{x}{y}$
• [b.] $\frac{y}{x^2}$
• [c.] $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$
• [d.] $\frac{y}{x}$

Paso 1:
Evaluar: $\int \sec^{9} x \, dx$

Calcular el valor de la derivada:
$$ \frac{d}{dx} \cos^{-1} \sqrt{\cos x} $$

a. $\frac{1}{2} \sqrt{1 + \sec x}$     
b. $\sqrt{1 + \sec x}$     
c. $-\frac{1}{2} \sqrt{1 + \sec x}$     
d. $-\sqrt{1 + \sec x}$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(x - 1)^{3/2}(x + 1)^{5/2}} $$

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{\ln|x|}{x \sqrt{1 + \ln|x|}} \, dx $$

(a) $\frac{2}{3} \sqrt{1 + \ln|x|} \times (\ln|x| - 2) + c$ \\
(b) $\frac{2}{3} \sqrt{1 + \ln|x|} \times (\ln|x| + 2) + c$ \\
(c) $\frac{1}{3} \sqrt{1 + \ln|x|} \times (\ln|x| - 2) + c$ \\
(d) $\frac{1}{3} \sqrt{1 + \ln|x|} \times (\ln|x| + 2) + c$

Calcule:
$$\int \frac{2 dx}{(\cos(x) - \sin(x))^2}$$

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\text{sen } x + \cos x}{\frac{1}{3}(a^x + b^x + c^x)} \right]^{\frac{1}{x}}$$

Demuestre lo siguiente:

1. [(a)] Si $y = a \cosh \frac{x}{a}$, entonces $y'' = \frac{1}{a} \sqrt{1 + (y')^2}$.
2. [(b)] Si $y = A \cosh bx + B \sinh bx$, donde $b, A$ y $B$ son constantes, entonces $y'' = b^2 y$.

Paso 1:
Se desea construir una caja rectangular abierta con extremos cuadrados para contener $6400 \text{ ft}^3$ a un costo de $\$0.75/\text{ft}^2$ para la base y $\$0.25/\text{ft}^2$ para los lados. Hallar las dimensiones más económicas.

Evaluar la integral:
$$ \int x^2 (1 - x)^3 \, dx $$

Si $y^2 = P(x)$, donde $P(x)$ es un polinomio de grado 3, entonces:
$$ 2 \frac{d}{dx} \left( y^3 \frac{d^2y}{dx^2} \right) = $$

$$ \begin{array}{llll} \text{a. } P'''(x) + P'(x) & \text{b. } P''(x) P'''(x) & \text{c. } P(x) P'''(x) & \text{d. } \text{una constante} \end{array} $$