Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Evaluar: $\int e^{ax+b} \, dx$

Demuestre las siguientes formas logarítmicas de las funciones hiperbólicas inversas:

1. [(a)] $\cosh^{-1} u = \ln (u + \sqrt{u^2 - 1}), \quad u \geq 1$
2. [(b)] $\tanh^{-1} u = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + u}{1 - u}, \quad u^2 < 1$

Use la regla de la cadena para hallar $dy/dx$:
$y = \frac{u - 1}{u + 1}$, $u = \sqrt{x}$

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \sec^{4} x \, dx $$

Determinar: $(f \circ g)(x)$ dadas las funciones:
$$f(x) = |x - 2| + \left\lfloor \frac{x+6}{3} \right\rfloor ; \quad -3 \le x < 2$$
$$g(x) = \begin{cases} 2x + 1 & ; \ -3 \le x < -1 \\ 3 & ; \ -1 \le x < 2 \\ 2 - x & ; \ x \ge 2 \end{cases}$$

Use la regla de la cadena para hallar $dy/dx$:
$y = \sqrt{u}$, $u = v(3 - 2v)$, $v = x^2$

Examine las funciones del Problema 23 (a) a (f) para valores máximos y mínimos relativos utilizando el método de la segunda derivada. Determine también los puntos de inflexión y los intervalos en los que la curva es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.
Nota: Las funciones del problema 23 son:
(a) $y = x^2 - 6x + 9$, (b) $y = 10 + 6x - x^2$, (c) $y = x^3 - 9x^2 + 24x - 7$, (d) $y = x^3 - 6x^2 + 12x - 4$, (e) $y = 4 + 12x - x^3$, (f) $y = x^4 - 4x^3 + 12$.

Evaluar el límite:
$$\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2n}} \, dx$$

Evaluar:
$$\int_0^{\pi/3} \frac{dx}{1 + \tan^2(x)}$$

Calcule el valor de la integral definida:
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}+1} \sin(x - \sin(x - \sin(x - \dots))) dx$$

Si $y = x^{(x^x)}$, entonces $\frac{dy}{dx}$ es:

a. $y[x^x (\log ex) \log x + x^x]$
b. $y[x^x (\log ex) \log x + x]$
c. $y[x^x (\log ex) \log x + x^{x-1}]$
d. $y[x^x (\log_e x) \log x + x^{x-1}]$

Evaluar la integral:
$$ \int \left( \frac{x + 2}{2x + 3} \right)^{1/2} \cdot \frac{dx}{x} $$