Aprende con Inteligencia

El valor de la integral $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) dx$, donde $x \in \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$, es:

(a) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\cos x - \sin x) + c$
(b) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + c$
(c) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x + \cos x) + c$
(d) $-\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x + \cos x) + c$

Evaluar:
$$ \int \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}\right) dx $$

Hallar la derivada $y'$ de la función:
$$ y = (3 + 4x - x^2)^{1/2} $$
Expresar el resultado en términos de $y$.

Paso 1:
Hallar el rango de la función: $f(x) = x + \sqrt{x^2 + 12}$ para $x \geq 2$.

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{4x - 5} $$

Evaluar:
$$ \int \left( x^m + m^x + m^m + \frac{m}{x} \right) dx $$

Evaluar:
$$ \int \frac{(2 \sin x + 5)}{(2 + 5 \sin x)^2} dx $$

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \left( \frac{4\cos x + 3}{(3\cos x + 4)^2} \right) dx $$

Calcular la integral:
$$ \int \frac{2\sin x + 5}{(2 + 5\sin x)^2} dx $$

(a) $\frac{\cos x}{2 + 5\sin x} + c$      (b) $\frac{-\cos x}{2 + 5\sin x} + c$ \\
(c) $\frac{1}{2 + 5\sin x} + c$      (d) $\frac{\sin x}{2 + 5\sin x} + c$

(8) Sea $k$ un número entero positivo, y sean $p(x), q(x)$ polinomios en $x$ de grado $k$. También sea:
$$ \begin{aligned} p(x) &= ax^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \\ q(x) &= bx^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \end{aligned} $$
donde $a$ y $b$ son números distintos de cero. Entonces: (a) Demuestre que:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{p(n)}{q(n)} = \frac{a}{b} $$
mostrando que dado $\epsilon > 0$, existe un $n_0$ tal que para todo $n > n_0$:
$$ \left| \frac{a}{b} - \frac{p(n)}{q(n)} \right| < \epsilon. $$
(b) Demuestre la ecuación anterior invocando el Teorema 2.10 (Leyes de los límites).

Calcular:
$$\int ((1-x)^3 + (x-x^2)^3 + (x^2-1)^3 - 3(1-x)(x-x^2)(x^2-1)) dx$$

Si $u = f(x^3)$, $v = g(x^2)$, $f'(x) = \cos x$, y $g'(x) = \sin x$, entonces $\frac{du}{dv}$ es:

a. $\frac{3}{2} x \cos x^3 \csc x^2$      b. $\frac{2}{3} \sin x^3 \sec x^2$      c. $\tan x$      d. ninguna de estas