Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Evaluar: $\displaystyle \int \cot^{3} x \cdot \csc^{3} x \, dx$

Calcular la integral indefinida:
$$\int \frac{1}{5 + 4\sqrt{x} + x} dx$$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to -1} (x^3 + 2x^2 - 3x - 4) $$

Calcular la integral indefinida:
$$\int \csc(x) \sec(x) dx$$

Hallar la derivada de la función:
$$ f(t) = \frac{2}{\sqrt{t}} + \frac{6}{\sqrt[3]{t}} $$

Calcule la integral indefinida:
$$\int \cos(\log(x)) dx$$

Paso 1:
Si $f'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ y $f(1) = \frac{\pi}{2}$, hallar $f(x)$.

Si $f(x-y)$, $f(x)f(y)$, y $f(x+y)$ están en Progresión Aritmética (P.A.) para todo $x, y$, y $f(0) \neq 0$, entonces:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } f(4) = f(-4) & \text{b. } f(2) + f(-2) = 0 \\ \text{c. } f'(4) + f'(-4) = 0 & \text{d. } f'(2) = f'(-2) \end{array} $$

Calcular $y'$ por definición:
$$y = \sqrt{x+1} \cdot \ln(\sqrt{x}+1)$$

Se debe colocar una luz directamente sobre el centro de un terreno circular de radio $30\text{ ft}$, a una altura tal que el borde del terreno reciba la máxima iluminación. Encuentre la altura si la intensidad $I$ en cualquier punto del borde es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia $\theta$ e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia $y$ desde la fuente.
$$ I = k \frac{\cos \theta}{y^2} $$
Sugerencia: Sea $x$ la altura requerida. La intensidad se puede expresar como $I = \frac{kx}{(x^2 + 900)^{3/2}}$.

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{\ln|x|}{x \sqrt{1 + \ln|x|}} \, dx $$

(a) $\frac{2}{3} \sqrt{1 + \ln|x|} \times (\ln|x| - 2) + c$ \\
(b) $\frac{2}{3} \sqrt{1 + \ln|x|} \times (\ln|x| + 2) + c$ \\
(c) $\frac{1}{3} \sqrt{1 + \ln|x|} \times (\ln|x| - 2) + c$ \\
(d) $\frac{1}{3} \sqrt{1 + \ln|x|} \times (\ln|x| + 2) + c$

Evaluar la integral:
$$ \int x^{-1/2} (2 + 3x^{1/3})^{-2} \, dx $$