Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Sea $y = \frac{2^{\log_{2^{1/4}} x} - 3^{\log_{27}(x^2+1)^3} - 2x}{7^{4\log_{49}x} - x - 1}$ y $\frac{dy}{dx} = ax + b$, entonces el valor de $a + b$ es:

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 1} $$

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{\ln|x|}{x \sqrt{1 + \ln|x|}} \, dx $$

(a) $\frac{2}{3} \sqrt{1 + \ln|x|} \times (\ln|x| - 2) + c$ \\
(b) $\frac{2}{3} \sqrt{1 + \ln|x|} \times (\ln|x| + 2) + c$ \\
(c) $\frac{1}{3} \sqrt{1 + \ln|x|} \times (\ln|x| - 2) + c$ \\
(d) $\frac{1}{3} \sqrt{1 + \ln|x|} \times (\ln|x| + 2) + c$

Si $f(x)$ es una función derivable y estrictamente creciente, entonces el valor de:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x^2) - f(x)}{f(x) - f(0)} $$
es:
$$ \begin{array}{llll} \text{(a) } 1 & \text{(b) } 0 & \text{(c) } -1 & \text{(d) } 2 \end{array} $$

Paso 1:
Una escalera de $20\text{ pies}$ de largo está apoyada contra una casa. Encuentre las razones a las cuales (a) la parte superior de la escalera se mueve hacia abajo si su pie está a $12\text{ pies}$ de la casa y se aleja a razón de $2\text{ pies/seg}$ y (b) la pendiente de la escalera está disminuyendo.

Determine el valor de la integral definida:
$$\int_0^1 (9x^9 - x^{90} + 9x^{99} - x^{900} + 9x^{909} - x^{990} + 9x^{999} - x^{9000} + \dots) \, dx$$

Paso 1:
Si la relación $f(xy) = \frac{f(x)}{y} + \frac{f(y)}{x}$ se cumple para todo $x, y$ reales mayores a 0, y $f(x)$ es una función derivable para todo $x > 0$ tal que $f(e) = \frac{1}{e}$, halle $f(x)$.

Evaluar:
$$ \int (x - \sqrt{x^{2}+4})^{5} dx $$

Paso 1:
La función $f(x) = \frac{x-1}{ax^2 + bx + c}$ tiene un punto de inflexión en $(-2, -1)$ y un extremo relativo en $x = 1 + \sqrt{3}$. Halle $a, b, c$.

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 + 4}} $$

Paso 1:
Suponga $f(x) = e^{ax} + e^{bx}$, donde $a \neq b$, y que $f''(x) - 2f'(x) - 15f(x) = 0$ para todo $x$. Entonces el valor de $|ab|$ es:

Examine cada una de las siguientes funciones para determinar sus valores máximos y mínimos relativos, utilizando el criterio de la primera derivada:

1. [(a)] $f(x) = x^2 + 2x - 3$
2. [(b)] $f(x) = 3 + 2x - x^2$
3. [(c)] $f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x - 8$