Aprende con Inteligencia

Calcular la integral definida:
$$\int_0^4 \binom{x}{5} dx$$

Si $y = (\sin x)^{\tan x}$, entonces $\frac{dy}{dx} =$

$$ \begin{array}{ll} \text{a. } (\sin x)^{\tan x} (1 + \sec^2 x \log \sin x) & \text{b. } \tan x (\sin x)^{\tan x - 1} \cos x \\ \text{c. } (\sin x)^{\tan x} \sec^2 x \log \sin x & \text{d. } \tan x (\sin x)^{\tan x - 1} \end{array} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(x - 1)^3 (x - 2)^2} $$

Calcular:
$$ \int \frac{dx}{(1 + \sqrt{x})\sqrt{x - x^2}} $$

Resolver la integral:
$$ \int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} \, dx $$

El valor de la integral $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) dx$, donde $x \in \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$, es:

(a) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\cos x - \sin x) + c$
(b) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + c$
(c) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x + \cos x) + c$
(d) $-\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x + \cos x) + c$

7. Suponga que la función $f(x)$ satisface la relación $f(x + y^3) = f(x) + f(y^3)$ $\forall x, y \in \mathbb{R}$ y es derivable para todo $x$.
Afirmación 1: Si $f'(2) = a$, entonces $f'(-2) = a$.
Afirmación 2: $f(x)$ es una función impar.

Paso 1:
Establecer la fórmula 10 del Capítulo 10 para $m = p/q$, donde $p$ y $q$ son números enteros, escribiendo $y = x^{p/q}$ como $y^q = x^p$ y diferenciando con respecto a $x$.

Calcular la integral impropia:
$$\int_0^\infty \frac{e^{-2x}\sin(3x)}{x} \, dx$$

Sean $A_1, A_2, \dots, A_n$ ($n > 2$) los vértices de un polígono regular de $n$ lados con su centro en el origen. Sea $\vec{a}_k$ el vector de posición del punto $A_k$ para $k = 1, 2, \dots, n$. Si se cumple que:
$$ \left| \sum_{k=1}^{n-1} (\vec{a}_k \times \vec{a}_{k+1}) \right| = \left| \sum_{k=1}^{n-1} (\vec{a}_k \cdot \vec{a}_{k+1}) \right| $$
entonces el valor mínimo de $n$ es:

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cdot \cos x} dx $$

Paso 1:
Analizar la continuidad de la función $h(x)$ en todo su dominio:
$$h(x) = \begin{cases} 3 & ; \quad [-1, 2] \\ (f \circ g)(x) & ; \quad \text{en su dominio} \end{cases}$$
Donde $f(x) = x^2 - 2x ; x \in [-1, 7[$ y \$g(x) = $$ \begin{cases} 1 - 2x & ; \quad ]-\infty, -1[ \\ x + 2 & ; \quad ]2, +\infty[ \end{cases} $$