Aprende con Inteligencia

Evaluar la integral:
$$ \int \csc^3 x \, dx $$

Calcular la integral definida:
$$\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(x - 1)^{3/2}(x + 1)^{5/2}} $$

(a) El área superficial total de un paralelepípedo rectangular de base cuadrada de lado $y$ y altura $x$ viene dada por $S = 2y^2 + 4xy$. Si $S$ es constante, halle $dy/dx$ sin despejar $y$.
(b) El área superficial total de un cilindro circular recto de radio $r$ y altura $h$ viene dada por $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$. Si $S$ es constante, halle $dr/dh$.

Calcule:
$$\int_{1}^{e} x(\log x)^2 \, dx$$

Hallar $(f^{-1} \circ g^{-1} \circ g^{-1})(x)$, si:
$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^4 - 17x^2 + 16} & ; \quad x \in ]-\infty, -4] \cup ]-1, 1] \\ x \cdot \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2-16}} & ; \quad x > 4 \end{cases}$$
$$g(x) = \sqrt{\frac{x^2-16}{x^2-1}} \quad ; \quad x \in [0, 1] \cup [4, +\infty[$$

Sea la función definida por una fracción continua infinita:
$$ f(x) = x + \frac{1}{2x + \frac{1}{2x + \frac{1}{2x + \cdots \infty}}} $$
Calcule el valor de la expresión $E = f(50) \cdot f'(50)$.

Evaluar la integral definida:
$$ \int_{0}^{7/2} \sqrt{x + \frac{1}{\sqrt{x + \frac{1}{\sqrt{x + \dots}}}}} \, dx $$

Paso 1:
Evaluar: $\int \sin^{-1}(\sin x) dx$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{x^3}{(x^2 + 1)^4} dx$

Probar:
(a) La suma de los interceptos con los ejes coordenados de cualquier tangente a la curva $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ es una constante.
(b) La suma de los cuadrados de los interceptos con los ejes coordenados de cualquier tangente a la curva $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ es una constante.

Si se tiene la función:
$$ y = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + \log_e \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}} $$
Demuestre que se cumple la siguiente identidad diferencial:
$$ 2y = xy' + \log_e y' $$