Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Un tren, saliendo a las 11 A.M., viaja hacia el este a $45\text{ mi/h}$, mientras que otro, saliendo al mediodía desde el mismo punto, viaja hacia el sur a $60\text{ mi/h}$. ¿Con qué rapidez se están separando a las 3 P.M.?

Resuelva la integral:
$$\int e^{3x} \arctan(e^x) \, dx$$

Hallar la diferencial $dy$ para la siguiente función:
$$ y = \ln(\tan x) $$

Evaluar la integral impropia:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{\tanh(x)}{\exp(x)} \, dx$$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 1} $$

Hallar la derivada de la función:
$$ y = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x $$

Si $f$, $g$, y $h$ son funciones derivables de $x$ y se define:
$$\Delta(x) = \begin{vmatrix} f & g & h \\ (xf)' & (xg)' & (xh)' \\ (x^2 f)' & (x^2 g)' & (x^2 h)' \end{vmatrix}$$
entonces demuestre que:
$$\Delta'(x) = \begin{vmatrix} f & g & h \\ f' & g' & h' \\ (x^3 f'')' & (x^3 g'')' & (x^3 h'')' \end{vmatrix}$$

Evaluar:
$$ \int \frac{\sin(x + a)}{\sin(x + b)} dx $$

Sea $f(x) = \int_2^x \frac{dt}{\sqrt{1 + t^4}}$ y $g$ sea la inversa de $f$. Entonces el valor de $g'(0)$ es:
(a) 1 (b) 17 (c) $\sqrt{17}$ (d) None.

Halle la integral:
$$ \int \Bigl(2020\,\sen^{2019}x\,\cos^{2019}x -8084\,\sen^{2021}x\,\cos^{2021}x\Bigr)\,dx. $$

Evaluar:
$$ \int \frac{x - 1}{\sqrt{x + 4}} dx $$

Resuelva:
$$\int \frac{\cos(x) + x \sin(x)}{x(x + \cos(x))} \, dx$$