Aprende con Inteligencia

Evaluar la integral impropia:
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 2x \cot(x) + \csc^2(x)} dx$$

Calcular la $n$-ésima derivada de la función logaritmo natural:
$$\frac{d^n}{dx^n}(\log x) =$$

a. $\frac{(n-1)!}{x^n}$
b. $\frac{n!}{x^n}$
c. $\frac{(n-2)!}{x^n}$
d. $(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n}$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{1 + x^{1/2} - x^{1/3}}{1 + x^{1/3}} dx $$

Calcule la integral:
$$\int (e^{x+e^x} + e^{x-e^x}) \, dx$$

Demostrar: El punto de contacto de una tangente a una hipérbola es el punto medio del segmento de la tangente comprendido entre las asíntotas.

\begin{solucion}
Para simplificar la demostración sin pérdida de generalidad, utilizaremos la ecuación de la hipérbola referida a sus asíntotas como ejes coordenados, cuya ecuación es $xy = c^2$. En este sistema, las asíntotas son los ejes $x$ e $y$.

1. Datos del problema:

• Ecuación de la hipérbola: $y = \frac{c^2}{x}$
• Punto de tangencia: $P_0(x_0, y_0)$, donde $y_0 = \frac{c^2}{x_0}$.
• Asíntotas: Rectas $x = 0$ (eje $y$) y $y = 0$ (eje $x$).

2. Pendiente de la tangente:
Derivamos la función $y = c^2 x^{-1}$ con respecto a $x$:
$$ \frac{dy}{dx} = -c^2 x^{-2} = -\frac{c^2}{x^2} $$
En el punto $P_0(x_0, y_0)$, la pendiente $m$ es:
$$ m = -\frac{c^2}{x_0^2} $$

3. Ecuación de la recta tangente:
Usando la forma punto-pendiente $y - y_0 = m(x - x_0)$:
$$ y - \frac{c^2}{x_0} = -\frac{c^2}{x_0^2}(x - x_0) $$
Multiplicando toda la ecuación por $x_0^2$:
$$ x_0^2 y - x_0 c^2 = -c^2 x + x_0 c^2 \implies c^2 x + x_0^2 y = 2x_0 c^2 $$
Dividiendo entre $c^2$:
$$ x + \frac{x_0^2}{c^2} y = 2x_0 $$
Como $y_0 = \frac{c^2}{x_0}$, entonces $\frac{x_0}{y_0} = \frac{x_0^2}{c^2}$. Sustituyendo:
$$ x + \frac{x_0}{y_0} y = 2x_0 \implies \frac{x}{2x_0} + \frac{y}{2y_0} = 1 $$

4. Intersecciones con las asíntotas:

• Intersección con el eje $x$ ($y=0$): $A(2x_0, 0)$.
• Intersección con el eje $y$ ($x=0$): $B(0, 2y_0)$.

5. Punto medio del segmento $AB$:
Calculamos el punto medio $M$ del segmento comprendido entre las asíntotas:
$$ M = \left( \frac{2x_0 + 0}{2}, \frac{0 + 2y_0}{2} \right) = (x_0, y_0) $$
El punto medio $M$ coincide exactamente con el punto de contacto $P_0$.

$$ \boxed{M = P_0(x_0, y_0)} $$
\end{olucion}

Paso 1:
La gráfica de $f(x) = |2x|$ es tangente en dos puntos al círculo de centro $(0, k)$ y radio $1$. Calcular el área de la región que se encuentra entre las dos curvas.

Calcular:
$$\int \frac{x}{1 - x^4} \, dx$$

Calcular la integral:
$$ \int \left\{ \frac{(\log x - 1)}{1 + (\log x)^2} \right\}^2 dx $$
Nota: En este contexto, $\log x$ se refiere usualmente al logaritmo natural ($\ln x$). Al observar las opciones, corregimos el planteamiento para que coincida con la forma estándar: $\int \frac{\log x - 1}{(1 + (\log x)^2)} dx$ es poco común, la forma corregida por derivación es la opción (b).

(a) $\frac{xe^x}{1 + x^2} + c$      (b) $\frac{x e^x}{1 + (\log x)^2} + c$ \\
(c) $\frac{\log x}{1 + (\log x)^2} + c$      (d) $\frac{x}{1 + x^2} + c$

Evalúe la integral impropia:
$$\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x^2} dx$$

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \left( \frac{5\cos^3 x + 3\sin^3 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \right) dx $$

Calcule la integral definida:
$$\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^2}{1+x^2} dx$$

Si $y = \cos^{-1}\left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$, entonces $\frac{dy}{dx}$ es:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } \frac{-2}{1+x^2} \text{ para todo } x & \text{b. } \frac{-2}{1+x^2} \text{ para todo } |x| < 1 \\ \text{c. } \frac{2}{1+x^2} \text{ para } |x| > 1 & \text{d. ninguno de estos} \end{array} $$