Aprende con Inteligencia

Integre:
$$\int \frac{1 + \cot(x)}{1 - \cot(x)} \, dx$$

A partir de la regla del producto para la derivación y la interpretación geométrica de las áreas en el plano, deduzca la fórmula de integración por partes y explique el significado de las regiones sombreadas mostradas en las gráficas:
$$ \int u \frac{dv}{dx} \, dx = uv - \int v \frac{du}{dx} \, dx $$

Paso 1:
iii) (5\%) Hallar el rango de la función: $f(x) = \sqrt{2x} - \sqrt{x}$ ; $x \in [1, 9]$.

Evaluar:
$$ \int \frac{(4x + 7)}{(x + 2) \sqrt{x^2 + 4x + 7}} dx $$

Sea $f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sin(x+h))^{\ln(x+h)} - (\sin x)^{\ln x}}{h}$. Entonces $f\left( \frac{\pi}{2} \right)$ es:

a. igual a 0 \\
b. igual a 1 \\
c. $\ln \frac{\pi}{2}$ \\
d. no-existente

Paso 1:
Determine si la función $f(x) = \frac{1}{3}x + 4$ tiene una inversa; si es así, encuentre una fórmula para la inversa $f^{-1}$ y calcule su derivada.

Resuelva la siguiente integral:
$$\int \frac{\ln(\cos x)}{\cos^2 x} dx$$

Calcular la integral:
$$\int \sqrt{\csc(x) - \sin(x)} dx$$

7. Suponga que la función $f(x)$ satisface la relación $f(x + y^3) = f(x) + f(y^3)$ $\forall x, y \in \mathbb{R}$ y es derivable para todo $x$.
Afirmación 1: Si $f'(2) = a$, entonces $f'(-2) = a$.
Afirmación 2: $f(x)$ es una función impar.

Si $e^x = \frac{\sqrt{1+t} - \sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t} + \sqrt{1-t}}$ y $\tan \frac{y}{2} = \sqrt{\frac{1-t}{1+t}}$, determinar $\frac{dy}{dx}$ en $t = \frac{1}{2}$.

• [a.] $-\frac{1}{2}$
• [b.] $\frac{1}{2}$
• [c.] $0$
• [d.] none of these

La primera derivada de la función
$$ f(x) = \left[ \cos^{-1} \left( \sin \sqrt{\frac{1+x}{2}} \right) + x^x \right] $$
con respecto a $x$ en $x = 1$ es:

1. $3/4$
2. $0$
3. $1/2$
4. $-1/2$

Calcular la integral indefinida:
$$ \int \arctan(\sqrt{x}) \, dx $$