Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Una corriente eléctrica, cuando fluye en una bobina circular de radio $r$, ejerce una fuerza $F = \frac{kx}{(x^2 + r^2)^{5/2}}$ sobre un pequeño imán ubicado a una distancia $x$ sobre el centro de la bobina. Demuestre que $F$ es máxima cuando $x = \frac{1}{2}r$.

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{x^3(1 + x^3)^{1/3}} $$

Paso 1:
Demuestre: Si $f(x)$ está definida para todo $x$ cerca de $x = a$ y tiene un límite cuando $x \to a$, dicho límite es único. (Sugerencia: Suponga que $\lim_{x \to a} f(x) = A$, $\lim_{x \to a} f(x) = B$, con $B \neq A$. Elija $\epsilon_1, \epsilon_2 < \frac{1}{2} |A - B|$. Determine $\delta_1$ y $\delta_2$ para los dos límites y tome $\delta$ como el menor entre $\delta_1$ y $\delta_2$. Muestre que entonces $|A - B| = |[A - f(x)] + [f(x) - B]| < |A - B|$, lo cual es una contradicción).

Paso 1:
31. $y = \ln(\ln \tan x)$

Resuelva:
$$\int [\sin(x + \sin x) - \sin(x - \sin x)] dx$$

Si $f_r(x), g_r(x), h_r(x)$ para $r = 1, 2, 3$ son polinomios tales que $f_r(a) = g_r(a) = h_r(a)$ para todo $r$, y se define:
$$F(x) = \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & f_3(x) \\ g_1(x) & g_2(x) & g_3(x) \\ h_1(x) & h_2(x) & h_3(x) \end{vmatrix}$$
Halle el valor de $F'(x)$ evaluado en $x = a$.

Calcule el valor de la siguiente integral definida que involucra la función máximo entre dos funciones trigonométricas:
$$\int_{0}^{2\pi} \max(\sin(x), \sin(2x)) \, dx$$

Paso 1:
Analizar la continuidad de la función $h(x)$ en todo su dominio:
$$h(x) = \begin{cases} 3 & ; \quad [-1, 2] \\ (f \circ g)(x) & ; \quad \text{en su dominio} \end{cases}$$
Donde $f(x) = x^2 - 2x ; x \in [-1, 7[$ y \$g(x) = $$ \begin{cases} 1 - 2x & ; \quad ]-\infty, -1[ \\ x + 2 & ; \quad ]2, +\infty[ \end{cases} $$

Halle la integral de la función secante:
$$\int \sec x \, dx$$

Si $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$, determinar $\frac{dy}{dx}$:

• [a.] $\frac{-1}{2|x|\sqrt{x^2-1}}$
• [b.] $\frac{-1}{2x\sqrt{x^2-1}}$
• [c.] $\frac{1}{2x\sqrt{x^2-1}}$
• [d.] none of these

(7) a) Demuestre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n!} = 0$, donde $n!$ es el factorial de $n$, el cual se define como el producto $n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1$. (Sugerencia: Considere usar el principio del sándwich).
b) Si en (a), $n^2$ es reemplazado por $n^k$ para un número entero fijo $k$, ¿sigue cumpliéndose (a)?

Encuentre $\frac{ds}{dx}$ y $\frac{ds}{dy}$ para la curva (astroide):
$$ x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} $$