Aprende con Inteligencia

El valor de la integral $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) dx$, donde $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$, es:

(a) $\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} - \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(b) $\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(c) $-\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} - \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(d) $-\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$

Dada la ecuación $x^n - 1 = 0$ con raíces $1, a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$, determine el valor de:
$$\sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{2 - a_r}$$

$$ \begin{array}{ll} \text{a) } \frac{2^{n-1}(n-2)+1}{2^n-1} & \text{b) } \frac{2^n(n-2)+1}{2^n-1} \\ \text{c) } \frac{2^{n-1}(n-1)-1}{2^n-1} & \text{d) } \text{none of these} \end{array} $$

Paso 1:
Una cometa, a $120\text{ ft}$ de altura sobre el suelo, se mueve horizontalmente a razón de $10\text{ ft/sec}$. ¿A qué razón disminuye la inclinación del hilo con la horizontal cuando se han soltado $240\text{ ft}$ de hilo?

Calcular el valor del límite:
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(2h+2+h^2) - f(2)}{f(h-h^2+1) - f(1)} $$
si se sabe que $f'(2) = 6$ y $f'(1) = 4$.
$$ \begin{array}{ll} \text{(a) no existe} & \text{(b) es igual a } -3/2 \\ \text{(c) es igual a } 3/2 & \text{(d) es igual a } 3 \end{array} $$

Calcular la integral:
$$ \int \left( \frac{1}{x} \log\left(\frac{x}{e^x}\right) \right) \, dx $$

(a) $\frac{1}{2} e^x - \ln x + c$ \\
(b) $\frac{1}{2} \ln x - e^x + c$ \\
(c) $\frac{1}{2} \ln^2 x - x + c$ \\
(d) None.

Paso 1:
Encuentre, con cuatro decimales: (a) la raíz real de $x^3 + 3x + 1 = 0$; (b) la raíz más pequeña de $e^{-x} = \sin x$; (c) la raíz de $x^2 + \ln x = 2$; (d) la raíz de $x - \cos x = 0$.

Paso 1:
Halle la pendiente de la curva $y = \frac{4}{x + 1}$ en el punto $x = 1$.

Evaluar la integral definida:
$$ \int_{-4}^{4} (1 + \sin(x^3)) \, dx $$

Evalúe la integral impropia:
$$\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x^2} dx$$

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to \infty} \left[ x \cdot \text{arctg}\left( \frac{x+w}{w^2+x^2+w^3x+2wx+w^2x^2} \right) \cdot \text{tg}^x \left( \text{arctg}(e^0) + \frac{w}{2x} \right) \right]$$

Calcule la integral impropia:
$$\int_{0}^{\infty} x^5 e^{-x^4} dx$$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3} + 1} dx $$