Aprende con Inteligencia

Si $(\sin x)(\cos y) = 1/2$, entonces $d^2y/dx^2$ en $(\pi/4, \pi/4)$ es:

a. -4      b. -2      c. -6      d. 0

Calcular la integral:
$$\int_{0}^{\pi} \left( \frac{\sin(2x) \sin(3x) \sin(5x) \sin(30x)}{\sin(x) \sin(6x) \sin(10x) \sin(15x)} \right)^2 dx$$

Paso 1:
Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función que satisface la condición $f(x + y^3) = f(x) + [f(y)]^3$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$. Si $f'(0) \geq 0$, halle $f(10)$.

Resuelva:
$$\int_{-2}^{2} |(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)| dx$$

Determine:
$$\int \frac{1}{\cos(x)} dx$$

Calcular el valor de la expresión compuesta por integrales iteradas con límites variables:

$$ \int_{\int_{1}^{\int_{0}^{1} x \, dx} x \, dx}^{\int_{0}^{\int_{0}^{1} x \, dx} x \, dx} x \, dx = -\frac{189}{2048} $$

Demuestre que el resultado de la operación es el valor indicado.

Sea $f(x) = \frac{\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x-1} - 1} \cdot x$. Entonces:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } f'(10) = 1 & \text{b. } f'(3/2) = -1 \\ \text{c. } \text{El dominio de } f(x) \text{ es } x \geq 1 & \text{d. } \text{El rango de } f(x) \text{ es } (-2, -1] \cup (2, \infty) \end{array} $$

Para $f(x)$ una función inyectiva, hallar el valor de: $N = f^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) + f^{-1}\left(-\frac{4}{3}\right)$ dado que:
$$f\left(x - \frac{1}{x}\right) = \frac{x^6 - 1}{x^5 + x}$$

Paso 1:
Un líquido fluye hacia un tanque cilíndrico vertical de $6\text{ pies}$ de radio a razón de $8\text{ pies}^3/\text{min}$. ¿Qué tan rápido sube la superficie?

Paso 1:
Una barcaza, cuya cubierta está $10\text{ ft}$ por debajo del nivel de un muelle, es atraída mediante un cable unido a la cubierta que pasa por un anillo en el muelle. Cuando la barcaza está a $24\text{ ft}$ de distancia y se aproxima al muelle a $\frac{3}{4}\text{ ft/seg}$, ¿con qué rapidez se está recogiendo el cable?

Paso 1:
Evaluar: $\displaystyle \int \cot^{3} x \cdot \csc^{-8} x \, dx$

Paso 1:
Demuestre: Si $f''(x_0) = 0$ y $f'''(x_0) \neq 0$, entonces hay un punto de inflexión en $x = x_0$.