Aprende con Inteligencia

Sea $f(x) = \begin{vmatrix} x^3 & \sin x & \cos x \\ 6 & -1 & 0 \\ p & p^2 & p^3 \end{vmatrix}$, donde $p$ es una constante.
Entonces el valor de $\frac{d^3}{dx^3} (f(x))$ en $x = 0$ es:

$$ \begin{array}{llll} \text{a. } p & \text{b. } p - p^3 & \text{c. } p + p^3 & \text{d. } \text{independiente de } p \end{array} $$

Resuelva los siguientes incisos teóricos sobre funciones y derivadas:

1. Si $f(x)$ es continua y está definida en $]-2, 3[$, ¿Se puede asegurar que existen máximos y mínimos locales (relativos) en el intervalo? Explique.
2. Analice si $f(x) = x^{2/3}$ cumple o no el teorema de Rolle en el intervalo $[-1, 1]$.
3. ¿En qué puntos no es derivable $f(x) = |9 - x^2|$? Explique.
4. Dé un ejemplo de una función que tenga punto de inflexión en $x_0 = 2$.

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x - \sqrt{x^2 + 9})^{10}} $$

Hallar el valor de:
$$\left\lfloor \log_{10} \int_{2022}^\infty 10^{-x^3} \, dx \right\rfloor$$

Evalúe la integral del radical anidado:
$$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + x\sqrt{1 + x\sqrt{1 + x\sqrt{\dots}}}} \, dx$$

Hallar el valor de $A$ y $B$ para que la función sea continua en todo el conjunto de los números reales:
$$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x+2} & ; \quad x < -2 \\ Ax+B & ; \quad -2 \le x < 2 \\ 1 + \dfrac{2}{\sqrt{x+2}} & ; \quad x > 2 \end{cases}$$

Calcule $y''$ en la siguiente expresión:
$$\arcsin\left( \frac{\sqrt{x^2+y^2}-2y}{y} \right) + \arctan\left( \frac{\sqrt{x^2+y^2}+2y}{y} \right) + \ln\left( \sqrt[6]{\sqrt{x^2+y^2}-6y} \right) = \ln(\sqrt[6]{y})$$

Paso 1:
Demuestre que las líneas tangentes a las curvas $5y - 2x + y^3 - x^2y = 0$ y $2y + 5x + x^4 - x^3y^2 = 0$ en el origen se intersecan en ángulo recto.

Paso 1:
Tres lados de un trapecio tienen la misma longitud de $20 \text{ cm}$. De todos los trapecios con esa condición, probar que el de área máxima tiene su cuarto lado de longitud $40 \text{ cm}$. Hallar el área máxima.

Calcular la integral indefinida:
$$\int \frac{x+1}{x^2+2x+3} \, dx$$

Si $x^2 + y^2 = R^2$ (donde $R > 0$) y se define la constante $k$ como:
$$ k = \frac{y''}{\sqrt{(1 + (y')^2)^3}} $$
Encuentre el valor de $k$ en términos de $R$ únicamente.

Calcule el valor de la siguiente integral definida:
$$\int_{0}^{100} \lfloor \sqrt{x} \rfloor dx$$