Aprende con Inteligencia

Hallar la diferencial $dy$ para la siguiente función:
$$ y = (5 - x)^3 $$

En los problemas 23 a 28, hallar $dy/dx$.
$$ y = \ln \sqrt{\tanh 2x} $$

Evaluar:
$$\int_{1}^e \log(\sqrt{x}) \, dx$$

Demuestre lo siguiente:

1. [(a)] Si $y = a \cosh \frac{x}{a}$, entonces $y'' = \frac{1}{a} \sqrt{1 + (y')^2}$.
2. [(b)] Si $y = A \cosh bx + B \sinh bx$, donde $b, A$ y $B$ son constantes, entonces $y'' = b^2 y$.

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x + 3) \sqrt{x}} $$

Paso 1:
Evaluar: $\int \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}} \right) dx$

(8) Sea $k$ un número entero positivo, y sean $p(x), q(x)$ polinomios en $x$ de grado $k$. También sea:
$$ \begin{aligned} p(x) &= ax^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \\ q(x) &= bx^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \end{aligned} $$
donde $a$ y $b$ son números distintos de cero. Entonces: (a) Demuestre que:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{p(n)}{q(n)} = \frac{a}{b} $$
mostrando que dado $\epsilon > 0$, existe un $n_0$ tal que para todo $n > n_0$:
$$ \left| \frac{a}{b} - \frac{p(n)}{q(n)} \right| < \epsilon. $$
(b) Demuestre la ecuación anterior invocando el Teorema 2.10 (Leyes de los límites).

Sea $f(x) = \int_2^x \frac{dt}{\sqrt{1 + t^4}}$ y $g$ sea la inversa de $f$. Entonces el valor de $g'(0)$ es:
(a) 1 (b) 17 (c) $\sqrt{17}$ (d) None.

Evaluar:
$$ \int \frac{(2x + 3)}{(x + 1)\sqrt{x^2 + 2x + 9}} dx $$

Halle el valor de $A$ para que la función $f(x)$ sea continua en los reales:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{\text{arctg}(1+x) - \text{arctg}(1-x)} & ; x \neq 0 \\ A & ; x = 0 \end{cases}$$

Hallar la expresión abreviada de $y''$ si se conoce:
$$\ln\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+3y^2}\right) + \arctan\left(\frac{x^2}{y^2}\right) = 8$$

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\tan(x)-x}{x-\operatorname{sen}(x)} \right]$$