Aprende con Inteligencia

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \tan^3 x \sec^4 x \, dx $$

Resuelva la siguiente integral:
$$\int \frac{\ln(\cos x)}{\cos^2 x} dx$$

Paso 1:
Un líquido fluye hacia un tanque cilíndrico vertical de $6\text{ pies}$ de radio a razón de $8\text{ pies}^3/\text{min}$. ¿Qué tan rápido sube la superficie?

Calcular:
$$ \int \frac{dx}{(1 + \sqrt{x})\sqrt{x - x^2}} $$

En lugar de la definición habitual de derivada $Df(x)$, definimos un nuevo tipo de derivada $D^*f(x)$ mediante la fórmula:
$$ D^*f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^2(x+h) - f^2(x)}{h} $$
donde $f^2(x)$ significa $[f(x)]^2$. Si $f(x) = x \ln x$, halle el valor de $\left. D^*f(x) \right|_{x=e}$.

a. $e$      b. $2e$      c. $4e$      d. Ninguna de las anteriores

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x + 3) \sqrt{x + 2}} $$

Paso 1:
Calcular el límite: $L = \lim_{x \to 0} \frac{\cot(a+2x) - 2\cot(a+x) + \cot(a)}{x^2}$

Calcular:
$$\int (x + \sin(x) + x\cos(x) + \sin(x)\cos(x)) dx$$

Hallar el valor de $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{12(\sqrt{1+3x} \cdot \sqrt[3]{2x+1} - 1)}{13x} & ; -\frac{1}{3} < x < 0 \\ Ax+B & ; 0 \le x \le 2 \\ \frac{-2(x-2)\log_2 e}{\log_2 x - \log_2 2} & ; x > 2 \end{cases}$$

Paso 1:
Deducir la fórmula de derivación para la función cotangente, utilizando primero (a) $\cot u = \frac{\cos u}{\sin u}$ y luego (b) $\cot u = \frac{1}{\tan u}$. Además, deducir las fórmulas de derivación para las funciones secante y cosecante.

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x^2 - 4) \sqrt{x + 1}} $$

Paso 1:
Demuestre lo siguiente: Si una sucesión $(t_n)$ diverge a $-\infty$ y cada $t_n \neq 0$, entonces $\lim_{n \to \infty} (1/t_n) = 0$.