Aprende con Inteligencia

Hallar la derivada de la función implícita:
$$ x \cos y = \sin(x + y) $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x + 1)\sqrt{x^2 + 2x + 2}} $$

Si $\int \frac{dx}{\cos(x - a) \cos(x - b)} = \frac{1}{A} (\log|f(x)| + \log|g(x)|) + c$, entonces:
(a) $A = \sin(a - b)$
(b) $f(x) = \cos(x - a)$
(c) $g(x) = \cos(x - b)$
(d) $A = \sin(b - a)$

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \tan^2 x \cdot \sec^4 x \, dx $$

Calcular el límite de la función $f(x)$ cuando $x \to 0$:
$$f(x) = \begin{cases} |x^2 - 9| & ; \quad |x| > 4 \\ \text{sgn}(\llbracket x+1 \rrbracket + 2) & ; \quad -4 \le x < 0 \\ \sqrt{\text{sgn}(x-2) + |x-2|} & ; \quad 0 \le x \le 4 \end{cases}$$

Resolver la integral:
$$ \int e^x \left\{ \frac{2\sin^2 x - 1}{\cos x} + \frac{\cos x(2\sin x + 1)}{1 + \sin x} \right\} dx $$

(a) $e^x \tan x + c$
(b) $e^x \cot x + c$
(c) $e^x \csc^2 x + c$
(d) $e^x \sec^2 x + c$

Calcular la integral:
$$\int \cos(x)^6 dx$$

Calcule la integral indefinida:
$$\int \frac{\log(2x)}{x \log x} \, dx$$

Calcular la siguiente integral:
$$ I = \int \frac{7x - 3}{\sqrt{-3x^2 + 6x + 17}} dx $$

Hallar el valor de $A$ y $B$ para que la función $f(x)$ sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(\sqrt{2} - \sqrt{\cos x})}{x(e^{2x} - 1)} & ; \quad x < 0 \\ 2Ax - B & ; \quad 0 \le x \le 3 \\ \frac{\sqrt[3]{2x^2+9} - \sqrt{6x-2} + 1}{x^2 - 9} & ; \quad x > 3 \end{cases}$$

Paso 1:
El trabajo realizado (potencia) por una celda voltaica de fuerza electromotriz constante $E$ y resistencia interna constante $r$ al pasar una corriente estacionaria a través de una resistencia externa $R$ es proporcional a $E^2R / (r + R)^2$. Demuestre que el trabajo realizado es máximo cuando $R = r$.

Hallar $\frac{dy}{dx}$ para la ecuación:
$$ \arctan \frac{y}{x} = \ln(x^2 + y^2) $$