Aprende con Inteligencia

3. Afirmación 1: Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función real tal que $\forall x, y \in \mathbb{R}$, $|f(x) - f(y)| \leq |x - y|^3$. Entonces $f(x)$ es una función constante.
Afirmación 2: Si la derivada de la función con respecto a $x$ es cero, entonces la función es constante.

Efectuando un análisis completo: máximos, mínimos, curva creciente/decreciente, curva cóncava/convexa, inflexiones, etc., construir la gráfica de:
$$y = x^{1/3}(x + 3)^{2/3}$$

Sea $f: R^+ \rightarrow R$ una función continua que satisface
$f\left(\frac{x}{y}\right) = f(x) - f(y) \quad \forall x, y \in R^+$. Si $f'(1) = 1$, entonces:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } f \text{ no está acotada} & \text{b. } \lim_{x \to 0} f\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \\ \text{c. } \lim_{x \to 0} \frac{f(1+x)}{x} = 1 & \text{d. } \lim_{x \to 0} x \cdot f(x) = 0 \end{array} $$

La $n$-ésima derivada de la función $f(x) = \frac{1}{1-x^2}$ [donde $x \in (-1, 1)$] en el punto $x = 0$ cuando $n$ es par es:

1. [a.] $0$
2. [b.] $n!$
3. [c.] $n^n C_2$
4. [d.] $2^n C_2$

Calcule la integral indefinida:
$$\int \frac{x^3}{1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}} dx$$

Paso 1:
Evaluar: $\int \sec^{9} x \, dx$

Calcular la integral indefinida de la función:
$$ \int \left( \frac{\log(x)}{x} \right)^2 dx $$
Donde $\log(x)$ representa el logaritmo natural.

Sea $y(x) = \cos(3\cos^{-1}x)$ para $x \in [-1, 1]$ con $x \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Calcule el valor de la expresión:
$$ \frac{1}{y(x)} \left\{ (x^2 - 1) \frac{d^2y(x)}{dx^2} + x \frac{dy(x)}{dx} \right\} $$

Evalúe la siguiente integral:
$$\int \frac{8x+5}{2x-5} dx$$

Encuentre la derivada de la siguiente función:
$y = 4x - 3$

Suponga que la función $g(x) = f(x) - f(2x)$ tiene derivada $5$ en $x=1$ y derivada $7$ en $x=2$. La derivada de la función $h(x) = f(x) - f(4x)$ en $x=1$ tiene el valor igual a:

a. 19      b. 9      c. 17      d. 14

Si $\lim_{t \to x} \frac{e^t f(x) - e^x f(t)}{(t - x)(f(x))^2} = 2$ y $f(0) = \frac{1}{2}$, entonces el valor de $f'(0)$ es:

a. $4$ \\
b. $2$ \\
c. $0$ \\
d. $1$