Aprende con Inteligencia

Sea $f(x) = \frac{\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x-1} - 1} \cdot x$. Entonces:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } f'(10) = 1 & \text{b. } f'(3/2) = -1 \\ \text{c. } \text{El dominio de } f(x) \text{ es } x \geq 1 & \text{d. } \text{El rango de } f(x) \text{ es } (-2, -1] \cup (2, \infty) \end{array} $$

Paso 1:
Dos lados de un triángulo miden $15$ y $20\text{ ft}$ de largo, respectivamente. (a) ¿Con qué rapidez aumenta el tercer lado si el ángulo entre los lados dados es de $60^\circ$ y aumenta a razón de $2^\circ/\text{sec}$? (b) ¿Con qué rapidez aumenta el área?

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{\cos x - \sin x + 1 - x}{e^x + \sin x + x} \, dx $$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{x}{x + 1} dx$

Paso 1:
Investigar el comportamiento de la función $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x & x > 0 \\ x + 1 & x \le 0 \end{cases}$ cuando $x \to 0$. Dibujar una gráfica.

Paso 1:
Evaluate: $\int \left( \frac{x^4 + 2}{x^2 + 2} \right) dx$

Determine la integral:
$$\int (\cos x \cosh x + \sin x \sinh x) dx$$

Calcular:
$$\int (\sin^2(x) + \cos^2(x) + \tan^2(x) + \cot^2(x) + \sec^2(x) + \csc^2(x)) dx$$

Si $y^{1/m} = (x + \sqrt{1+x^2})$, entonces el valor de $(1 + x^2)y_2 + xy_1$ es (donde $y_r$ representa la $r$-ésima derivada de $y$ respecto a $x$):

a. $m^2y$      b. $my^2$      c. $m^2y^2$      d. Ninguno de estos

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(x^2 - 6x + 9)\sqrt{4x^2 - 24x + 20}} $$

Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones que tienen derivadas de tercer orden finitas y no nulas $f'''(x)$ y $g'''(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Si $f(x)g(x) = 1$ para todo $x \in \mathbb{R}$, demuestre que:
$$ \frac{f'''}{f'} - \frac{g'''}{g'} = 3\left(\frac{f''}{f} - \frac{g''}{g}\right) $$

Determine:
$$\int \sinh^3 x \cosh^2 x dx$$