Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Para la función $f(x) = 5x - 6$, encuentre un $\delta > 0$ tal que siempre que $0 < |x - 4| < \delta$, entonces $|f(x) - 14| < \epsilon$, cuando (a) $\epsilon = \frac{1}{2}$ y (b) $\epsilon = 0.001$.

(8) Sea $k$ un número entero positivo, y sean $p(x), q(x)$ polinomios en $x$ de grado $k$. También sea:
$$ \begin{aligned} p(x) &= ax^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \\ q(x) &= bx^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \end{aligned} $$
donde $a$ y $b$ son números distintos de cero. Entonces: (a) Demuestre que:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{p(n)}{q(n)} = \frac{a}{b} $$
mostrando que dado $\epsilon > 0$, existe un $n_0$ tal que para todo $n > n_0$:
$$ \left| \frac{a}{b} - \frac{p(n)}{q(n)} \right| < \epsilon. $$
(b) Demuestre la ecuación anterior invocando el Teorema 2.10 (Leyes de los límites).

Calcular:
$$\int (e^{e^x + e^{-x} + x} - e^{e^x + e^{-x} - x}) \, dx$$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{(1 + x)^2}{x(1 + x^2)} dx$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{x^9}{(2x^2 + 3)^5} dx$

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \left( \frac{2x + 1}{(x^2 + 4x + 1)^{3/2}} \right) dx $$

(a) $\left( \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 4x + 1}} \right) + c$
(b) $\left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4x + 1}} \right) + c$
(c) $\left( \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 4x + 1}} \right) + c$
(d) $\left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 1}} \right) + c$