Aprende con Inteligencia

Si $\int \frac{dx}{x^{2}(x^{4} + 1)^{3/4}} = A\left(1 + \frac{1}{x^{4}}\right)^{B} + c$, entonces determine los valores de $A$ y $B$ para identificar la opción correcta:

(a) $A = -1$ \\
(b) $B = 1/4$ \\
(c) $A = 1/2$ \\
(d) $B = 1/2$

Paso 1:
Si el polinomio $x^3 + 3x^2 - 9x + c$ es de la forma $(x - \alpha)^2 (x - \beta)$, entonces el valor positivo de $c$ es:

Hallar la derivada de:
$$ y = (x - 1) \sqrt{x^2 - 2x + 2} $$

Evaluar la integral:
$$ \int \sqrt{\frac{\sin(x - \alpha)}{\sin(x + \alpha)}} \, dx $$

Sean $u(x)$ y $v(x)$ funciones derivables tales que $\frac{u(x)}{v(x)} = 7$. Si $\frac{u'(x)}{v'(x)} = p$ y $\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = q$, entonces el valor de $\frac{p+q}{p-q}$ es:

a) 1
b) 0
c) 7
d) -7

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{6 + x - 3x^2} $$

Resuelva:
$$\int_{-2}^{2} |(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)| dx$$

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{dx}{(x - 1)^3(x + 2)^4} $$

Resuelva:
$$\int x^2 \sin(\ln x) dx$$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} $$

Si $\int \left( \frac{2(\cos x + \sec x) \sin x}{\cos^{6}x + 6\cos^{2}x + 4} \right) dx = \frac{1}{L} \left( \log \left( 1 + \frac{M}{\cos^{4}x} + \frac{N}{\cos^{6}x} \right) \right) + c$, halle los valores constantes.

(a) $L + M = 18$ \\
(b) $L - M = 6$ \\
(c) $L + M + N = 22$ \\
(d) $L + M - N = 14$

Calcular la integral:
$$ \int \left( \frac{1}{x} \log\left(\frac{x}{e^x}\right) \right) \, dx $$

(a) $\frac{1}{2} e^x - \ln x + c$ \\
(b) $\frac{1}{2} \ln x - e^x + c$ \\
(c) $\frac{1}{2} \ln^2 x - x + c$ \\
(d) None.