Aprende con Inteligencia

Calcule el valor de la integral:
$$\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1+x} \, dx$$

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \tan^3 x \sec^4 x \, dx $$

Determinar los valores de $x$ para los cuales la función es continua o discontinua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 27\operatorname{sgn}(x-1)}{x^3 + 3x^2 + 3x - 9 \lfloor \frac{x}{9} \rfloor} & ; -5 < x < 0 \wedge x \neq -3 \\ \frac{x^2-9}{x^2-2x-3} & ; 0 \le x < 5 \wedge x \neq 3 \\ \frac{9}{4} & ; x = -3 \\ \frac{3}{2} & ; x = 3 \end{cases}$$

Calcule la integral definida:
$$\int_{64}^{729} \frac{x^{1/2}}{x^{1/2} - x^{1/3}} dx$$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{x^{2}}{(x+3)^{2}} dx$

Resuelva:
$$\int_0^\pi \frac{2 \cos(x) - \cos(2021x) - 2\cos(2022x) - \cos(2023x) + 2}{1-\cos(2x)} \, dx$$

¿Cuál es el valor de $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{a_0 x^m + a_1 x^{m-1} + \dots + a_m}{b_0 x^n + b_1 x^{n-1} + \dots + b_n}$, donde $a_0, b_0 \neq 0$ y $m, n$ son enteros positivos, cuando:
(a) $m > n$; (b) $m = n$; (c) $m < n$?

Evaluar:
$$ \int \frac{\sin(x + a)}{\sin(x + b)} dx $$

Escriba una demostración detallada del siguiente límite:
$$ \lim_{n \to \infty} \left( 3 - \frac{23}{n} \right)^3 = 27 $$

Use la definición precisa para probar:
(a) $\lim_{x \to 3} 5x = 15$
(b) $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$
(c) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 5) = 3$

Empleando la regla de L'Hôpital, calcule el límite:
$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2} \right)$$

Calcule la integral definida:
$$\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1+\sin(x)}$$