Aprende con Inteligencia

Calcule la integral indefinida:
$$\int \left( \frac{1}{x-1} + \frac{\sum_{k=0}^{2018} (k+1)x^k}{\sum_{k=0}^{2019} x^k} \right) dx$$

Calcular la integral indefinida:
$$\int \tanh x \, dx$$

Sean $f(x)$, $g(x)$, y $h(x)$ tales que:
1) $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ para todos los valores de $x$ cerca de $x = a$.
2) $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = A$.
Demuestre que $\lim_{x \to a} g(x) = A$. (Sugerencia: Para un $\epsilon > 0$ dado, existe un $\delta > 0$ tal que siempre que $0 < |x - a| < \delta$ entonces $|f(x) - A| < \epsilon$ y $|h(x) - A| < \epsilon$, o bien $A - \epsilon < f(x) \leq g(x) \leq h(x) < A + \epsilon$).

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{3^x - 3^{-x}}{3^x + 3^{-x}} $$

Sea $f: R^+ \rightarrow R$ una función continua que satisface
$f\left(\frac{x}{y}\right) = f(x) - f(y) \quad \forall x, y \in R^+$. Si $f'(1) = 1$, entonces:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } f \text{ no está acotada} & \text{b. } \lim_{x \to 0} f\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \\ \text{c. } \lim_{x \to 0} \frac{f(1+x)}{x} = 1 & \text{d. } \lim_{x \to 0} x \cdot f(x) = 0 \end{array} $$

Demuestre los siguientes límites utilizando la definición formal de límite de una sucesión ($\epsilon-N$):

1. [(i)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$
2. [(ii)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$
3. [(iii)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 - 10^7} = 0$
4. [(iv)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2}{n^2 - \pi} = 3$
5. [(v)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k - b} = 0$, donde $k$ es un entero positivo y $b$ es un número distinto de cero.

Paso 1:
Evaluar: $\displaystyle \int \csc^{5} x \, dx$

Paso 1:
3. (20\%) Hallar el área del triángulo que determinan: el eje x, la recta tangente y la recta normal a la curva: $y\sqrt{x} + x\sqrt{y} = 18$ en el punto $(8, 2)$.

Calcule la integral impropia:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-\frac{2019}{4t^2}}}{t^2} \, dt$$

Paso 1:
Evaluar: $\int \tan^{-1} \left( \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} \right) dx$

Paso 1:
Evaluar: $\displaystyle \int \csc^{2} x \cdot \cot^{2} x \, dx$

Si $y = \cos^{-1}\left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$, entonces $\frac{dy}{dx}$ es:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } \frac{-2}{1+x^2} \text{ para todo } x & \text{b. } \frac{-2}{1+x^2} \text{ para todo } |x| < 1 \\ \text{c. } \frac{2}{1+x^2} \text{ para } |x| > 1 & \text{d. ninguno de estos} \end{array} $$