Aprende con Inteligencia

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(x + 1)^3 \sqrt{x^2 + 2x - 4}} $$

Paso 1:
Sea $y = \frac{2^{\log_{2^{1/4}} x} - 3^{\log_{27}(x^2+1)^3} - 2x}{7^{4\log_{49}x} - x - 1}$ y $\frac{dy}{dx} = ax + b$, entonces el valor de $a + b$ es:

Probar:
(a) La suma de los interceptos con los ejes coordenados de cualquier tangente a la curva $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ es una constante.
(b) La suma de los cuadrados de los interceptos con los ejes coordenados de cualquier tangente a la curva $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ es una constante.

Paso 1:
i) (5\%) Demostrar axiomáticamente que: $\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$, si $0 < a < b$.

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt{x}(\sqrt[4]{x} + 1)^{10}} $$

Paso 1:
Evaluar: $\displaystyle \int \left( \frac{8^{1+x} + 4^{1+x}}{2^{2x}} \right) dx$

Analice la monotonía de las siguientes funciones:

1. [(a)] Demuestre que $y = x^5 + 20x - 6$ es una función creciente para todos los valores de $x$.
2. [(b)] Demuestre que $y = 1 - x^3 - x^7$ es una función decreciente para todos los valores de $x$.

Evaluar:
$$ \int \left( \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx $$

Si $e^x = \frac{\sqrt{1+t} - \sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t} + \sqrt{1-t}}$ y $\tan \frac{y}{2} = \sqrt{\frac{1-t}{1+t}}$, determinar $\frac{dy}{dx}$ en $t = \frac{1}{2}$.

• [a.] $-\frac{1}{2}$
• [b.] $\frac{1}{2}$
• [c.] $0$
• [d.] none of these

Halle la integral:
$$ \int \Bigl(2020\,\sen^{2019}x\,\cos^{2019}x -8084\,\sen^{2021}x\,\cos^{2021}x\Bigr)\,dx. $$

Paso 1:
Si $f'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ y $f(1) = \frac{\pi}{2}$, hallar $f(x)$.

Encuentre la derivada de la siguiente función:
$y = 4x - 3$