Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Un depósito rectangular tiene $8\text{ pies}$ de largo, $2\text{ pies}$ de ancho en la parte superior y $4\text{ pies}$ de profundidad. Si el agua fluye hacia el depósito a razón de $2\text{ pies}^3/\text{min}$, ¿qué tan rápido sube la superficie cuando el agua tiene $1\text{ pie}$ de profundidad?

Paso 1:
Suponga que $f(0) = 0$ y $f'(0) = 2$, y sea $g(x) = f(-x + f(f(x)))$. El valor de $g'(0)$ es igual a:

Evaluar la integral definida:
$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(1 - x)}}$$

Calcular la integral:
$$\int \frac{x^6 - 1}{x^4 + x^3 - x - 1} dx$$

Sea $g(x)$ la inversa de una función invertible $f(x)$ que es derivable en $x = c$. Entonces $g'(f(c))$ es igual a:

a. $f'(c)$      b. $\displaystyle \frac{1}{f'(c)}$      c. $f(c)$      d. ninguna de estas

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{x + 9}{x^3 + 9x} dx $$

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)$$

Paso 1:
Un tren, saliendo a las 11 A.M., viaja hacia el este a $45\text{ mi/h}$, mientras que otro, saliendo al mediodía desde el mismo punto, viaja hacia el sur a $60\text{ mi/h}$. ¿Con qué rapidez se están separando a las 3 P.M.?

Calcular la integral indefinida:
$$ \int \frac{dx}{x^6 + x^4} $$

(a) $-\frac{1}{3x^2} + \frac{1}{x} + \text{cosec}^{-1}x + c$ \\
(b) $-\frac{1}{3x^2} + \frac{1}{x} + \cot^{-1}x + c$ \\
(c) $-\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{x} + \tan^{-1}x + c$ \\
(d) $\frac{1}{3x^2} - \frac{1}{x} + \sin^{-1}x + c$

Resuelva:
$$\int \frac{1}{2 + e^x} dx$$

Paso 1:
Efectuando análisis de curva creciente/decreciente, cóncava/convexa, máximos, mínimos, inflexiones, etc. construir la gráfica de la función: $y = x^4 - 8x^2 + 8$.

Calcule el valor de la integral definida
$$\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1 + \cos x + \sin x}$$
y compruebe que su resultado es $\ln 2$.