Aprende con Inteligencia

Simplificar:
$$ \frac{\sin(270^\circ + A) \cos(90^\circ - A)}{\sin(180^\circ - A) \cos(180^\circ - A)} $$

Paso 1:
Si $\frac{\sin(\theta + A)}{\sin(\theta + B)} = \sqrt{\frac{\sin(2A)}{\sin(2B)}}$, demostrar que $\tan^2 \theta = \tan A \tan B$.

Si $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de $a \sec \theta + b \tan \theta = c$, demuestre que $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{2ac}{a^2 - c^2}$.

Nota: El enunciado original presentaba una errata en "$a \tan \theta + b \tan \theta = c$", se corrige a la forma estándar $a \sec \theta + b \tan \theta = c$ para que la demostración sea consistente.

Demostrar que:
$$ \tan(\alpha - \beta) + \tan(\beta - \gamma) + \tan(\gamma - \alpha) = \tan(\alpha - \beta) \tan(\beta - \gamma) \tan(\gamma - \alpha) $$

Si $\alpha$ es la raíz común positiva de las ecuaciones:
$$ x^2 - ax + 12 = 0 $$
$$ x^2 - bx + 15 = 0 $$
$$ x^2 - (a+b)x + 36 = 0 $$
y además se cumple la ecuación trigonométrica $\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0$, entonces el valor de $\sin x + \sin 2x + \sin 3x$ es:

(a) 3      (b) $-3$      (c) 0      (d) 2

Simplificar:
$$M = \frac{(\csc x + \cos x)^2 - (\csc x - \cos x)^2}{(\tan x + \cot x + 1)^2 - (\tan x + \cot x - 1)^2}$$

Paso 1:
Si: $A+B = \pi$, halle el valor simplificado de: $E = 4\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cos\left(\frac{B}{2}\right)\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)$

Si ``$x $'' y ``$ y $'' son ángulos complementarios, ``$x $'' y ``$ z $'' son suplementarios, reducir:
$$ Q=\frac{\sen(x+y-z)}{\sen(x-y+z)} -\frac{\cos(2x+3z)\,\csc(4y-3z)}{\tan(x+y+z)}. $$

Si $a \sin x + b \cos x = 1$ tal que $a^2 + b^2 = 1$ para todo $a, b \in (0, 1)$.
Entonces determine:
1. El valor de $\sin x$ es:
(a) $a$      (b) $b$      (c) $a/b$      (d) $b/a$

2. El valor de $\cos x$ es:
(a) $a$      (b) $b$      (c) $a/b$      (d) $b/a$

3. El valor de $\tan x$ es:
(a) $a$      (b) $b$      (c) $a/b$      (d) $b/a$

Sabiendo que: $\text{sen } x + \text{sen}^2 x = 1$, calcular el valor de: $M = \cos^2 x + \cos^4 x$
Resp. $M = 1$

Exprese en términos de razones de los ángulos positivos más pequeños:

1. [(i)] $\sin 240^\circ$
2. [(ii)] $\cos 780^\circ$
3. [(iii)] $\sin(-1358^\circ)$
4. [(iv)] $\csc(-1150^\circ)$
5. [(v)] $\tan(-1750^\circ)$

Afirmación (A): $\sec^2 \theta = \frac{4xy}{(x + y)^2}$ es posible para valores reales de $x$ e $y$ solo cuando $x = y$.
Razón (R): $\sec^2 \theta \geq 1$ para todo $\theta$ real.