Aprende con Inteligencia

Si $A+B+C=180^\circ$, demostrar:
$$ \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}=1. $$

Paso 1:
Si $\tan(\alpha + \theta) = n \tan(\alpha - \theta)$, demuestre que $\frac{\sin 2\theta}{\sin 2\alpha} = \frac{n-1}{n+1}$.

Demostrar que:
$$ \sin^{2}\left( \frac{\pi}{8} \right) + \sin^{2}\left( \frac{3\pi}{8} \right) + \sin^{2}\left( \frac{5\pi}{8} \right) + \sin^{2}\left( \frac{7\pi}{8} \right) = 2 $$

Si $f(x) = \cos[\pi^2]x + \cos[-\pi^2]x$, donde $[ \cdot ]$ denota la función Máximo Entero (G.I.F.), entonces:

(a) $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$      (b) $f(\pi) = 1$      (c) $f(-\pi) = 0$      (d) $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1$

Resolver la ecuación:
$$ \frac{\tan ax}{\sin bx} = 0 $$

Hallar el valor de:
$$ \sin\left(\frac{\pi}{14}\right) \sin\left(\frac{3\pi}{14}\right) \sin\left(\frac{5\pi}{14}\right) \sin\left(\frac{7\pi}{14}\right) \sin\left(\frac{9\pi}{14}\right) \sin\left(\frac{11\pi}{14}\right) \sin\left(\frac{13\pi}{14}\right) $$

En los problemas 1323 al 1339, calcule el valor de las expresiones dadas:
$$ 2 \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \operatorname{arccot} (-1) + \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \arccos (-1) $$

Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:
$$ \frac{1 + \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^{-1} \alpha - \cos^{-1} \alpha - \sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{\sqrt{2} \sin 2\alpha}{4 \sin \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)} $$
Nota: Se asume que $\sin^{-1} \alpha$ y $\cos^{-1} \alpha$ se refieren a funciones inversas $(\arcsin, \arccos)$ o recíprocas según el contexto del texto original; sin embargo, en identidades algebraicas de este tipo, suele haber una fe de errata donde se refiere a potencias o una estructura simplificable. Al analizar la estructura de la derecha, procedemos con la resolución de la forma simplificada.

Resolver la ecuación trigonométrica:
$$ \tan x + \tan a + 1 = \tan x \tan a $$

Demostrar que:
$$ \left( \frac{\sin x}{\cos 3x} + \frac{\sin 3x}{\cos 9x} + \frac{\sin 9x}{\cos 27x} \right) = \frac{1}{2} (\tan 27x - \tan x) $$

4. El valor de $\sin\left(\dfrac{\pi}{18}\right) \sin\left(\dfrac{5\pi}{18}\right) \sin\left(\dfrac{7\pi}{18}\right)$ es:

(a) $1/16$      (b) $1/8$      (c) $-1/8$      (d) $-1$

Paso 1:
Si $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = m$, demuestre que $\cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) = m - 1$.