Aprende con Inteligencia

Simplificar la siguiente expresión:
$$ \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \dots + \sin (2n-1) \alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \dots + \cos (2n-1) \alpha} $$

Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
$$ (1 + \cos x) \left( \frac{1}{\sin x} - 1 \right) = 0 $$

Si $x_1$ y $x_2$ son las raíces de la ecuación:
$$ x^2 + (1 - \sin \theta)x - \frac{1}{2}\cos^2 \theta = 0 $$
entonces el valor máximo de $x_1^2 + x_2^2$ es:

(a) 2      (b) 3      (c) 9/4      (d) 4

Hallar el valor de:
$$ S = \sin^2 6^\circ + \sin^2 12^\circ + \dots + \sin^2 90^\circ $$

El valor de la expresión $(\sqrt{3} \sin 75^\circ - \cos 75^\circ)$ es:

(a) $1/2$      (b) $1/\sqrt{2}$      (c) $\sqrt{2}$      (d) 2

Relacione las siguientes columnas de acuerdo al signo de las funciones trigonométricas en los intervalos dados:

$$ \begin{array}{ll|ll} \text{Columna I} & & \text{Columna II} & \\ \hline \text{(i) Positivo} & & \text{(A)} & \left( \frac{13\pi}{48}, \frac{14\pi}{48} \right) \\ \text{(ii) Negativo} & & \text{(B)} & \left( \frac{14\pi}{48}, \frac{18\pi}{48} \right) \\ & & \text{(C)} & \left( \frac{18\pi}{48}, \frac{23\pi}{48} \right) \\ & & \text{(D)} & \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) \\ \end{array} $$

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} x - y = a \\ 2(\cos 2x + \cos 2y) = 1 + 4\cos^2(x-y) \end{cases} $$

Paso 1:
Resolver la ecuación: $\operatorname{sen} 3x = \cos 2x$

Demuestre la identidad del ángulo cuádruple para la tangente:
$$ \tan 4\theta = \frac{4 \tan \theta - 4 \tan^3 \theta}{1 - 6 \tan^2 \theta + \tan^4 \theta} $$

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} 2^{\text{sen} x + \cos y} = 1 \\ 16^{\text{sen}^2 x + \cos^2 y} = 4 \end{cases} $$

Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:
$$ \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\tan \frac{\alpha + \beta}{2} + \cot \frac{\alpha - \beta}{2}} = \frac{\sin (\alpha + \beta) \sin (\alpha - \beta)}{2 \cos \beta} $$

Simplificar la siguiente expresión:
$$ \sqrt{\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha + 2} $$
Considerando los intervalos para $\alpha$:
1. Si $\pi k < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi k$
2. Si $-\frac{\pi}{2} + \pi k < \alpha < \pi k$