Aprende con Inteligencia

Demostrar que:
$$ \tan 13A - \tan 9A - \tan 4A = \tan 4A \cdot \tan 9A \cdot \tan 13A $$

Demuestre que:
$16 \cos\left(\frac{2\pi}{15}\right) \cos\left(\frac{4\pi}{15}\right) \cos\left(\frac{8\pi}{15}\right) \cos\left(\frac{16\pi}{15}\right) = 1$

Hallar el valor de:
$$ S = \sin^2 5^\circ + \sin^2 10^\circ + \dots + \sin^2 90^\circ $$

Considere el polinomio
$P(x) = (x - \cos 36^\circ)(x - \cos 84^\circ)(x - \cos 156^\circ)$
Determine:
1. El coeficiente de $x^2$ es:
(a) $0$      (b) $1$      (c) $-1/2$      (d) $\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)$

2. El coeficiente de $x$ es:
(a) $3/2$      (b) $-3/2$      (c) $-3/4$      (d) $2$

3. El término constante en $P(x)$ es:
(a) $\left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)$      (b) $\left( \frac{\sqrt{5}-1}{16} \right)$      (c) $\left( \frac{\sqrt{5}+1}{16} \right)$      (d) $\frac{1}{16}$

Halle las soluciones de la ecuación, entre $0^\circ$ y $360^\circ$:
$$ \tan^2 \beta + 3 \cot^2 \beta - \sec^2 \beta = 0 $$

Resolver la ecuación:
$$\cos x + \sin x = \frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x}$$

Paso 1:
Simplificar: $T = \frac{\sin 2x \sin x + \sin 6x \sin 3x + \sin 13x \sin 4x}{\cos 2x \sin x + \cos 6x \sin 3x + \cos 13x \sin 4x}$

Resolver la ecuación:
$$ \sin 2x + \tan x = 2 $$

Assertion (A): $\sin \theta = x + \frac{1}{x}$ es imposible si $x \in \mathbb{R} - \{0\}$.

Reason (R): $A.M \ge G.M$ (Media Aritmética $\ge$ Media Geométrica).

(a) A (b) B (c) C (d) D

donde A indica que R es la explicación correcta de A, B que R no es explicación, C que A es verdad y R falso, y D que A es falso y R verdadero.

La gráfica de la función $f(x) = \cos x \cos(x + 2) - \cos^2(x + 1)$ es:

(a) una línea recta que pasa por $(0, -\sin^2 1)$ con pendiente 2. \\
(b) una línea recta que pasa por $(0, 0)$. \\
(c) una parábola con vértice $(1, -\sin^2 1)$. \\
(d) una línea recta que pasa por el punto $\left( \frac{\pi}{2}, -\sin^2 1 \right)$ y es paralela al eje $x$.

Sea $f(\theta) = \sin \theta (\sin \theta + \sin 3\theta)$, entonces $f(\theta)$ cumple:
(a) $\geq 0$ cuando $\theta \geq 0$
(b) $\leq 0$ para todo real $\theta \geq 0$
(c) $\leq 0$ para todo real $\theta \leq 0$
(d) $\geq 0$ para todo $\theta$ real

Hallar las soluciones de la ecuación trigonométrica entre $[0^\circ, 360^\circ]$:
$$ \frac{\cos^2x - \sin^2(2x)}{4\cos^2x} = \sin(x + 30^\circ)\sin(x - 30^\circ) $$