Aprende con Inteligencia

Demostrar la siguiente igualdad:
$$ \arcsin \frac{7}{25} + \frac{1}{2} \arccos \frac{7}{25} = \arccos \frac{3}{5} $$

Paso 1:
Simplificar: $E = \cos^2(\alpha + \beta) - 2\cos \alpha \cos \beta \cos(\alpha + \beta) + \cos^2 \beta$

Resolver la ecuación:
$$ \tan^3 x + \tan^2 x - 3 \tan x = 3 $$

Paso 1:
Simplificar: $A = \frac{\sec^2 x}{\sec 2x} + \frac{\sec^3 x}{\sec 3x} - \frac{8\tan x}{\tan 2x}$

Demostrar que:
$$ \sin^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{3\pi}{8} + \sin^2 \frac{5\pi}{8} + \sin^2 \frac{7\pi}{8} = 2 $$

Paso 1:
Si $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$, demuestre que $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$.

Halle las soluciones generales del sistema:
$$ \begin{cases} \tan x + \cot y = \frac{2\sqrt{3}}{3} \\ \tan x \cot y = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Relacione las siguientes columnas de acuerdo al signo de las funciones trigonométricas en los intervalos dados:

$$ \begin{array}{ll|ll} \text{Columna I} & & \text{Columna II} & \\ \hline \text{(i) Positivo} & & \text{(A)} & \left( \frac{13\pi}{48}, \frac{14\pi}{48} \right) \\ \text{(ii) Negativo} & & \text{(B)} & \left( \frac{14\pi}{48}, \frac{18\pi}{48} \right) \\ & & \text{(C)} & \left( \frac{18\pi}{48}, \frac{23\pi}{48} \right) \\ & & \text{(D)} & \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) \\ \end{array} $$

Paso 1:
Demostrar que $\sin(9^\circ) = \frac{1}{4} \left( \sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{5 - \sqrt{5}} \right)$.

Verificar la igualdad:
$$ \cos \frac{\pi}{20} \cos \frac{3\pi}{20} \cos \frac{7\pi}{20} \cos \frac{9\pi}{20} = -\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} \cos \frac{8\pi}{15} $$

Demostrar que:
$$ \cos^3 \theta + \cos^3 \left( \theta - \frac{2\pi}{n} \right) + \cos^3 \left( \theta - \frac{4\pi}{n} \right) + \dots \text{ hasta } n \text{ términos} = 0 $$
(Para $n > 3$).

Si $\alpha$ y $\beta$ son dos raíces diferentes de $a \cos \theta + b \sin \theta = c$, demostrar que:
$$ \sin(\alpha + \beta) = \frac{2ab}{a^2 + b^2} $$