Aprende con Inteligencia

Sea el dominio de dos sucesiones $(s_n)$ y $(t_n)$ los enteros positivos y sea $s_n \to 2$, $t_n \to 2 + \delta$, donde $\delta$ es el número $10^{-5820}$. Ahora defina una nueva sucesión:
$$ u_n = \begin{cases} s_n & \text{si } n \text{ no es un múltiplo de 3,} \\ t_n & \text{si } n \text{ es un múltiplo de 3.} \end{cases} $$
Así, los primeros términos de la sucesión $(u_n)$ se ven así: $s_1, s_2, t_3, s_4, s_5, t_6, s_7, \dots$. ¿Es $(u_n)$ una sucesión convergente? Explique.

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2} $$

(9) Sean $(s_n)$ y $(t_n)$ sucesiones de números positivos. Demuestre que:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{s_n}{t_n} = 0 \iff \lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{s_n} = +\infty $$

4. (20\%) Calcular los siguientes límites:
a) $L = \lim_{x \to a} \left[ \frac{\sin(x-a)}{2} \cdot \tan\left( \frac{\pi x}{2a} \right) \right]$
b) $L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{e^{\sin x} - x \cdot 2^{\tan x} + 1 - 2\cos 3x}{2\cos 3x \tan x} \right]$

Sea el dominio de una sucesión $(s_n)$ los enteros positivos y sea $s_n \to 5$. Defina una nueva sucesión $(t_n)$ por:
$$ t_n = \begin{cases} n & \text{si } n \leq 10^{5,070}, \\ s_n & \text{si } n > 10^{5,070}. \end{cases} $$
¿Converge $(t_n)$? Explique.

Calcule por la regla de L'Hopital el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$$

Halle el límite:
$$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \int_{-1/2}^{1/2} (1-3x^2+x^4)^n dx$$

Paso 1:
Demuestre lo siguiente: Una sucesión $(s_n)$, donde $s_n > 0$ para todo $n$, diverge a $+\infty$ si y solo si $\lim_{n \to \infty} (1/s_n) = 0$.

Hallar el valor de A y B para que la función sea continua en $\mathbb{R}$.
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt[3]{x+6}-2}{x^3-8} & ; \quad x \geq 2 \\ Ax + B & ; \quad 1 < x < 2 \\ \frac{2x-1-x^6}{x^3-2x+1} & ; \quad x \leq 1 \end{cases}$$

Hallar los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en $]-\frac{5}{2}, \infty[$:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\tan(\pi x)}{x+2} & ; \quad -\frac{5}{2} < x < -2 \\ ax+b & ; \quad -2 \le x \le 0 \\ \frac{2\text{sen } x + 3\text{sen}^2 x}{x + 2x^4} & ; \quad x > 0 \end{cases}$$

Halle $L = \lim_{x \to 0^+} \frac{f^{-1}(x)}{g^{-1}(x)}$ sabiendo que:
$f(x) = \sqrt{\frac{1-\cos 2x}{8(1+\sin^2 x)}}$ y $g(\ln x) = e^{\ln x} - 1$.

Paso 1:
Encuentre $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ para la función $f(x) = x^2 - 4x$.