Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Calcular el límite: $L = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{8x + \sqrt[3]{8x^2 + \sqrt[3]{8x + \sqrt[3]{8x}}}} - 2\sqrt[3]{x} \right)$

Calcule el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 2\pi} \cot^2 x \cdot \left( \sqrt{2\cos^2 x + 3\cos x + 4} - \sqrt{\cos^2 x + 6\cos x + 2} \right)$$

Paso 1:
Demuestre lo siguiente: Si una sucesión $(t_n)$ diverge a $-\infty$ y cada $t_n \neq 0$, entonces $\lim_{n \to \infty} (1/t_n) = 0$.

Si $f(x)$ es una función derivable y estrictamente creciente, entonces el valor de:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x^2) - f(x)}{f(x) - f(0)} $$
es:
$$ \begin{array}{llll} \text{(a) } 1 & \text{(b) } 0 & \text{(c) } -1 & \text{(d) } 2 \end{array} $$

(9) Sean $(s_n)$ y $(t_n)$ sucesiones de números positivos. Demuestre que:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{s_n}{t_n} = 0 \iff \lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{s_n} = +\infty $$

Calcular el valor del límite:
$$ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{2026} \underbrace{\log_{\sqrt{2}}(x + \log_{\sqrt{2}}(x + \dots \log_{\sqrt{2}}(x + 2026)\dots))}_{n \text{ logs}} dx $$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 + 5} $$

Escriba los primeros cinco términos de cada una de las siguientes sucesiones:

(a) $\left\{ 1 + \frac{1}{n} \right\}$      (b) $\left\{ \frac{1}{n(n+1)} \right\}$      (c) $\{ a + (n-1)d \}$      (d) $\{ (-1)^{n+1} ar^{n-1} \}$

(e) $\left\{ \frac{n}{\sqrt{1+n^2}} \right\}$      (f) $\left\{ \frac{\sqrt{n+1}}{n} \right\}$      (g) $\left\{ (-1)^{n+1} \frac{n!}{n^n} \right\}$      (h) $\left\{ \frac{(2n)!}{3^n 5^{n-1}} \right\}$

Determine el valor del siguiente límite que involucra una integral definida:
$$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \int_{0}^{n} \cos^2 \left( \frac{\pi x^2}{\sqrt{2}} \right) dx \right) = \frac{1}{2} $$

Paso 1:
$$f(x) = \begin{cases} a \left( \frac{\sqrt{x^2+8} - \sqrt[3]{x^2-24x+2}}{\sqrt[3]{7-x} + \sqrt{5-x^2}-4} \right) & ; -\sqrt{5} \leq x < -1 \\ \frac{a}{b} & ; x = -1 \\ \frac{\sqrt[5]{31-x} - 6x - 8}{b^2(\sqrt[3]{26-x} - 5x - 8)} & ; x > -1 \end{cases}$$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x^2 - 1} $$

Evaluate the following limit:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{3 - \sqrt{x + 9}} $$