Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Encuentre $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ para la función $f(x) = \frac{2}{x + 1}$.

2. (20\%) Hallar el valor de A y B para que la función sea continua en $[-10, -3[$.
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}} & ; \quad x \le -8 \\ Ax^2 + B & ; \quad -8 < x \le -2 \\ \frac{|3x| - \lfloor \frac{4x}{3} \rfloor}{\text{sgn}(x)} & ; \quad x > 2 \end{cases}$$

Obtener los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\text{sen}^2 \{1 - \cos[\text{sen}(\text{sen} 2x)]\}}{1 - \cos[1 - \cos(\text{sen } x)]} & ; \quad x < 0 \\ ax^3 + b & ; \quad 0 \leq x \leq 1 \\ \dfrac{x^2 - 42x + 41}{x^2 - 3x + 2} & ; \quad x > 1 \end{cases}$$

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\tan(a+x) + \tan(a-x) - 2\tan(a)}{\text{sen}(a+x) + \text{sen}(a-x) - 2\text{sen}(a)} \right]$$

Obtener los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en su dominio:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{2 - \sqrt{\cos x} - \sec x}{\sqrt{\cos x} - \sqrt[3]{\cos x}} & ; \quad x < 0 \\ ax^3 + b & ; \quad 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{8(x^{34} - 1)}{x^{32} - x^{30} + x^{28} - \dots + x^4 - x^2} & ; \quad x > 1 \end{cases}$$

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{e^x - \cos(\sqrt{2}x) - x}{\tan^2 x} \right]$$

Sea $\sigma$ un número positivo y sea $t_n = \sigma + \frac{(-1)^n}{n}$ para cada entero positivo $n$.

1. [(a)] Demuestre que la sucesión $(t_n)$ converge a $\sigma$.
2. [(b)] Demuestre que para cada entero par $n$, $t_{n+1} < \sigma < t_n$.

Hallar los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en $]-\frac{5}{2}, \infty[$:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\tan(\pi x)}{x+2} & ; \quad -\frac{5}{2} < x < -2 \\ ax+b & ; \quad -2 \le x \le 0 \\ \frac{2\text{sen } x + 3\text{sen}^2 x}{x + 2x^4} & ; \quad x > 0 \end{cases}$$

(i) Sea $(a_n)$ una sucesión acotada y sea $s_n \to 0$. Demuestre que la sucesión $(a_n s_n)$ converge a 0.
(ii) Si en (i), $(a_n)$ ya no se supone acotada, ¿sigue cumpliéndose (i)?

Paso 1:
$$f(x) = \begin{cases} a \left( \frac{\sqrt{x^2+8} - \sqrt[3]{x^2-24x+2}}{\sqrt[3]{7-x} + \sqrt{5-x^2}-4} \right) & ; -\sqrt{5} \leq x < -1 \\ \frac{a}{b} & ; x = -1 \\ \frac{\sqrt[5]{31-x} - 6x - 8}{b^2(\sqrt[3]{26-x} - 5x - 8)} & ; x > -1 \end{cases}$$

Paso 1:
Demuestre: Si $f(x)$ está definida para todo $x$ cerca de $x = a$ y tiene un límite cuando $x \to a$, dicho límite es único. (Sugerencia: Suponga que $\lim_{x \to a} f(x) = A$, $\lim_{x \to a} f(x) = B$, con $B \neq A$. Elija $\epsilon_1, \epsilon_2 < \frac{1}{2} |A - B|$. Determine $\delta_1$ y $\delta_2$ para los dos límites y tome $\delta$ como el menor entre $\delta_1$ y $\delta_2$. Muestre que entonces $|A - B| = |[A - f(x)] + [f(x) - B]| < |A - B|$, lo cual es una contradicción).

(9) Sean $(s_n)$ y $(t_n)$ sucesiones de números positivos. Demuestre que:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{s_n}{t_n} = 0 \iff \lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{s_n} = +\infty $$