Aprende con Inteligencia

Si $f(x)$ es una función derivable y estrictamente creciente, entonces el valor de:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x^2) - f(x)}{f(x) - f(0)} $$
es:
$$ \begin{array}{llll} \text{(a) } 1 & \text{(b) } 0 & \text{(c) } -1 & \text{(d) } 2 \end{array} $$

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\text{sen } x + \cos x}{\frac{1}{3}(a^x + b^x + c^x)} \right]^{\frac{1}{x}}$$

Hallar el valor de $A$ y $B$ para que la función $f(x)$ sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(\sqrt{2} - \sqrt{\cos x})}{x(e^{2x} - 1)} & ; \quad x < 0 \\ 2Ax - B & ; \quad 0 \le x \le 3 \\ \frac{\sqrt[3]{2x^2+9} - \sqrt{6x-2} + 1}{x^2 - 9} & ; \quad x > 3 \end{cases}$$

Paso 1:
ii) (5\%) Enunciar la condición de necesidad y suficiencia para que exista el límite $f(x)$ en el punto $x_0 \in D_f$.

Evaluar el límite:
$$L = \lim_{x \to b} \left[ 2\csc(x-b) \cdot \cot\left( \frac{\pi x}{2b} \right) \right]$$

Evaluate the following limit:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{3 - \sqrt{x + 9}} $$

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 2} \frac{\ln\left[ \text{tg}\left(x - 2 + \frac{\pi}{4}\right) \right]}{\text{sen}(3x - 6)}$$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{3^x - 3^{-x}}{3^x + 3^{-x}} $$

Paso 1:
3. Calcular el siguiente límite: $L = \lim_{x \to 1} \frac{(x^n - 1) - n(x - 1)}{(x - 1)^2}$

(7) a) Demuestre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n!} = 0$, donde $n!$ es el factorial de $n$, el cual se define como el producto $n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1$. (Sugerencia: Considere usar el principio del sándwich).
b) Si en (a), $n^2$ es reemplazado por $n^k$ para un número entero fijo $k$, ¿sigue cumpliéndose (a)?

Determine el valor del siguiente límite que involucra una integral definida:
$$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \int_{0}^{n} \cos^2 \left( \frac{\pi x^2}{\sqrt{2}} \right) dx \right) = \frac{1}{2} $$

Paso 1:
Investigar el comportamiento de $f(x) = |x|$ cuando $x \to 0$. Dibujar una gráfica. (Sugerencia: Examine $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x)$.)