Aprende con Inteligencia

Calcular el valor del límite:
$$ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{2026} \underbrace{\log_{\sqrt{2}}(x + \log_{\sqrt{2}}(x + \dots \log_{\sqrt{2}}(x + 2026)\dots))}_{n \text{ logs}} dx $$

Determine el término general de cada una de las siguientes sucesiones:

1. [(a)] $1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, \dots$
2. [(b)] $1/2, -1/6, 1/12, -1/20, 1/30, \dots$
3. [(c)] $1/2, 1/12, 1/30, 1/56, 1/90, \dots$
4. [(d)] $1/5^3, 3/5^5, 5/5^7, 7/5^9, 9/5^{11}, \dots$
5. [(e)] $1/2!, -1/4!, 1/6!, -1/8!, 1/10!, \dots$

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(1) = 3$ y $f'(1) = 6$. Entonces el valor de:
$$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{f(1+x)}{f(1)} \right)^{1/x} $$
es:
$$ \begin{array}{llll} \text{(a) } 1 & \text{(b) } e^{1/2} & \text{(c) } e^2 & \text{(d) } e^3 \end{array} $$

Paso 1:
Calcular el siguiente límite: $L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\sqrt[3]{5x+1} \cdot \sqrt{1+7x} - 1}{x} \right]$

Paso 1:
Si $f(x) = x - 2$ y $g(x) = x^2 - x$, calcular: $L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{(f \circ f \circ g)(x)}{(g \circ f)(x) - 6} \right]$

Paso 1:
Estudie la continuidad de la función: $f(x) = \text{sgn}\left(\frac{x^2-1}{x^2+2}\right)$ en $x = 1$.

(9) (a) Dé una demostración detallada del Teorema 2.5 en la página 132.
(b) Dado un intervalo abierto acotado $(a, b)$, muestre que hay una sucesión de números $(s_n)$ tal que $s_n \in (a, b)$ para todo $n$ y $s_n \to s$ para algún número $s$, pero $s \notin (a, b)$.

Paso 1:
Calcular el límite: $L = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{8x + \sqrt[3]{8x^2 + \sqrt[3]{8x + \sqrt[3]{8x}}}} - 2\sqrt[3]{x} \right)$

Paso 1:
Demuestre lo siguiente: Si una sucesión $(t_n)$ diverge a $-\infty$ y cada $t_n \neq 0$, entonces $\lim_{n \to \infty} (1/t_n) = 0$.

En el laboratorio de biología de una universidad, han determinado que el tamaño $T$ de una cierta bacteria varía con el tiempo $t$, según la ley:
$$T(t) = \begin{cases} \sqrt{t+a} & \text{si } t < 8 \text{ Horas} \\ \frac{-3 + \sqrt{3t-15}}{t-8} & \text{si } t > 8 \text{ Horas} \end{cases}$$
El parámetro "a" es una variable biológica. Se pide:

1. ¿Cuál sería el valor de "a" para que el crecimiento se mantenga continuo en $t=8$?
2. ¿Cuál será el tamaño de una bacteria si se cultiva indefinidamente?

Analizar completamente si existe $\lim_{x \to -1} f(x)$ donde:
$$f(x) = \begin{cases} |x| - \lfloor x \rfloor & ; \quad -3 \leq x < -1 \\ -4x + \text{sgn}\left(\frac{x-1}{x+2}\right) & ; \quad -1 \leq x < 1 \end{cases}$$

Calcule por la regla de L'Hopital el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$$