Aprende con Inteligencia

5. Hallar el valor de $A$ para que la función sea continua en $x=0$:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\cos x \cdot \cos 3x \cdot \cos 5x - 1}{1 - \cos 2x} & ; x \neq 0 \\ A & ; x = 0 \end{cases}$$

Halle el valor de "b" para que la función $f(x)$ sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} b \cdot \frac{a^{a^x} - a^{x^a}}{a^x - x^a} & ; \quad x \leq a \\ \frac{a^x - a^a}{x - a} & ; \quad x > a \end{cases}$$

(i) Sea $(a_n)$ una sucesión acotada y sea $s_n \to 0$. Demuestre que la sucesión $(a_n s_n)$ converge a 0.
(ii) Si en (i), $(a_n)$ ya no se supone acotada, ¿sigue cumpliéndose (i)?

Obtener los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\text{sen}^2 \{1 - \cos[\text{sen}(\text{sen} 2x)]\}}{1 - \cos[1 - \cos(\text{sen } x)]} & ; \quad x < 0 \\ ax^3 + b & ; \quad 0 \leq x \leq 1 \\ \dfrac{x^2 - 42x + 41}{x^2 - 3x + 2} & ; \quad x > 1 \end{cases}$$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + 3}{x^2 + 5x + 6} $$

Calcular el siguiente límite ($m, n, u, v$ son números enteros):
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\sqrt[n]{1+ux} \cdot \sqrt[m]{1+vx} - 1}{\sqrt[m]{1+ux} - \sqrt[n]{1+vx}} \right]$$

Paso 1:
Sea el dominio de una sucesión $(s_n)$ los enteros positivos y sea $s_n \to \pi$. Defina una nueva sucesión $(t_n)$ mediante $t_n = s_{n+1,000}$ (de modo que $t_1 = s_{1,001}, t_2 = s_{1,002}$, etc.). ¿Converge $(t_n)$? Explique.

Obtener los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(\sqrt{4x^2+1})}{x(e^{2x}-1)} & ; \quad x < 0 \\ 2ax + b & ; \quad 0 \leq x \leq 3 \\ \frac{81(\sqrt[3]{2x^2+9} - \sqrt{6x-2} + 1)}{x^2-9} & ; \quad x > 3 \end{cases}$$

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\cot(a+2x) - 2\cot(a+x) + \cot(a)}{x^2} \right]$$

Paso 1:
$$f(x) = \begin{cases} a \left( \frac{\sqrt{x^2+8} - \sqrt[3]{x^2-24x+2}}{\sqrt[3]{7-x} + \sqrt{5-x^2}-4} \right) & ; -\sqrt{5} \leq x < -1 \\ \frac{a}{b} & ; x = -1 \\ \frac{\sqrt[5]{31-x} - 6x - 8}{b^2(\sqrt[3]{26-x} - 5x - 8)} & ; x > -1 \end{cases}$$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 + 5} $$

Calcule el límite (corrigiendo la tendencia a la variable correcta):
$$L = \lim_{x \to e} \left( \frac{e^x - x^e}{x - e \ln x} \right)$$