Aprende con Inteligencia

4. (20\%) Calcular los siguientes límites:
a) $L = \lim_{x \to a} \left[ \frac{\sin(x-a)}{2} \cdot \tan\left( \frac{\pi x}{2a} \right) \right]$
b) $L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{e^{\sin x} - x \cdot 2^{\tan x} + 1 - 2\cos 3x}{2\cos 3x \tan x} \right]$

Calcule el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 2} \frac{\ln\left( \sqrt[3]{\tan\left( 5x-10+\frac{\pi}{4} \right)} \right)}{\text{sen}(7x-14)}$$

Empleando la regla de L'Hôpital, calcule el límite:
$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2} \right)$$

Determine el número de soluciones positivas que satisfacen la ecuación:
$$ \tan^{-1} \left( \frac{1}{2x + 1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{1}{4x + 1} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2}{x^2} \right) $$

Hallar el valor de $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{12(\sqrt{1+3x} \cdot \sqrt[3]{2x+1} - 1)}{13x} & ; -\frac{1}{3} < x < 0 \\ Ax+B & ; 0 \le x \le 2 \\ \frac{-2(x-2)\log_2 e}{\log_2 x - \log_2 2} & ; x > 2 \end{cases}$$

Hallar el límite para la función $f(x) = \tan(2x)$:
$$L = \lim_{x \to 0} \frac{f(a+2x) - 2f(a+x) + f(a)}{x^2}$$

Hallar los valores de $a$ y $b$, para que la función $f(x)$ sea continua en los reales:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\text{sen}(\pi x)}{x+1} & , \quad x < -1 \\ 2\pi ax + \pi b & , \quad -1 \leq x \leq 1 \\ \pi \cdot \frac{2x-1-x^6}{x^3-2x+1} & , \quad x > 1 \end{cases}$$

Calcule el siguiente límite:
$$\lim_{n \to \infty} n \int_0^{\pi/4} \tan^n(x) dx$$

Paso 1:
Demuestre: Si $f(x)$ está definida para todo $x$ cerca de $x = a$ y tiene un límite cuando $x \to a$, dicho límite es único. (Sugerencia: Suponga que $\lim_{x \to a} f(x) = A$, $\lim_{x \to a} f(x) = B$, con $B \neq A$. Elija $\epsilon_1, \epsilon_2 < \frac{1}{2} |A - B|$. Determine $\delta_1$ y $\delta_2$ para los dos límites y tome $\delta$ como el menor entre $\delta_1$ y $\delta_2$. Muestre que entonces $|A - B| = |[A - f(x)] + [f(x) - B]| < |A - B|$, lo cual es una contradicción).