Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Si el polinomio $x^3 + 3x^2 - 9x + c$ es de la forma $(x - \alpha)^2 (x - \beta)$, entonces el valor positivo de $c$ es:

Sea el dominio de dos sucesiones $(s_n)$ y $(t_n)$ los enteros positivos y sea $s_n \to 2$, $t_n \to 2 + \delta$, donde $\delta$ es el número $10^{-5820}$. Ahora defina una nueva sucesión:
$$ u_n = \begin{cases} s_n & \text{si } n \text{ no es un múltiplo de 3,} \\ t_n & \text{si } n \text{ es un múltiplo de 3.} \end{cases} $$
Así, los primeros términos de la sucesión $(u_n)$ se ven así: $s_1, s_2, t_3, s_4, s_5, t_6, s_7, \dots$. ¿Es $(u_n)$ una sucesión convergente? Explique.

(7) (a) Escriba una demostración detallada de que la sucesión $((-1)^n)$ es divergente.
(b) Defina $s_n = (1 + (-1)^n)^n$. ¿Es $(s_n)$ una sucesión convergente? ¿Por qué?

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to \infty} \left[ x \cdot \text{arctg}\left( \frac{x+w}{w^2+x^2+w^3x+2wx+w^2x^2} \right) \cdot \text{tg}^x \left( \text{arctg}(e^0) + \frac{w}{2x} \right) \right]$$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} $$

(8) Sea $k$ un número entero positivo, y sean $p(x), q(x)$ polinomios en $x$ de grado $k$. También sea:
$$ \begin{aligned} p(x) &= ax^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \\ q(x) &= bx^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \end{aligned} $$
donde $a$ y $b$ son números distintos de cero. Entonces: (a) Demuestre que:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{p(n)}{q(n)} = \frac{a}{b} $$
mostrando que dado $\epsilon > 0$, existe un $n_0$ tal que para todo $n > n_0$:
$$ \left| \frac{a}{b} - \frac{p(n)}{q(n)} \right| < \epsilon. $$
(b) Demuestre la ecuación anterior invocando el Teorema 2.10 (Leyes de los límites).

Paso 1:
Sea el dominio de una sucesión $(s_n)$ los enteros positivos y sea $s_n \to e$. Defina una nueva sucesión $(t_n)$ mediante $t_n = s_{7n}$ (por lo tanto $t_1 = s_7, t_2 = s_{14}, t_3 = s_{21}$, etc.). ¿Converge $(t_n)$? Explique.

Hallar los valores de $a$ y $b$, para que la función $f(x)$ sea continua en los reales:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\text{sen}(\pi x)}{x+1} & , \quad x < -1 \\ 2\pi ax + \pi b & , \quad -1 \leq x \leq 1 \\ \pi \cdot \frac{2x-1-x^6}{x^3-2x+1} & , \quad x > 1 \end{cases}$$

Calcular:
$$\int (e^{e^x + e^{-x} + x} - e^{e^x + e^{-x} - x}) \, dx$$

Paso 1:
Demuestre: Si $f(x) \leq M$ para todo $x$ y si $\lim_{x \to a} f(x) = A$, entonces $A \leq M$. (Sugerencia: Suponga $A > M$. Elija $\epsilon = \frac{1}{2}(A - M)$ y obtenga una contradicción).

Hallar el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \sqrt[x/3]{\frac{3^{\text{sen } x} + 2^{3x}}{1 + \cos x}}$$

Paso 1:
Para la función $f(x) = 5x - 6$, encuentre un $\delta > 0$ tal que siempre que $0 < |x - 4| < \delta$, entonces $|f(x) - 14| < \epsilon$, cuando (a) $\epsilon = \frac{1}{2}$ y (b) $\epsilon = 0.001$.