Aprende con Inteligencia

Sean $f(x)$, $g(x)$, y $h(x)$ tales que:
1) $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ para todos los valores de $x$ cerca de $x = a$.
2) $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = A$.
Demuestre que $\lim_{x \to a} g(x) = A$. (Sugerencia: Para un $\epsilon > 0$ dado, existe un $\delta > 0$ tal que siempre que $0 < |x - a| < \delta$ entonces $|f(x) - A| < \epsilon$ y $|h(x) - A| < \epsilon$, o bien $A - \epsilon < f(x) \leq g(x) \leq h(x) < A + \epsilon$).

Evaluate the following limit:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{3 - \sqrt{x + 9}} $$

Paso 1:
Calcular el siguiente límite: $L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1 - \cos x \cdot \cos 2x}{1 - \cos x} \right]$

Obtener los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\text{sen}^2 \{1 - \cos[\text{sen}(\text{sen} 2x)]\}}{1 - \cos[1 - \cos(\text{sen } x)]} & ; \quad x < 0 \\ ax^3 + b & ; \quad 0 \leq x \leq 1 \\ \dfrac{x^2 - 42x + 41}{x^2 - 3x + 2} & ; \quad x > 1 \end{cases}$$

Paso 1:
6. (OPTATIVA) Calcule el límite: $L = \lim_{x \to e} \frac{e^x - x^x}{x^2 - e^2}$

Paso 1:
Calcular el límite: $L = \lim_{x \to 0} \frac{\cot(a+2x) - 2\cot(a+x) + \cot(a)}{x^2}$

Calcule el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 3^x}{\sqrt{2x-2} - \sqrt{x^2-5}}$$

Hallar el valor de $A$ y $B$ para que la función $f(x)$ sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(\sqrt{2} - \sqrt{\cos x})}{x(e^{2x} - 1)} & ; \quad x < 0 \\ 2Ax - B & ; \quad 0 \le x \le 3 \\ \frac{\sqrt[3]{2x^2+9} - \sqrt{6x-2} + 1}{x^2 - 9} & ; \quad x > 3 \end{cases}$$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 + 5} $$

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\text{sen } x + \cos x}{\frac{1}{3}(a^x + b^x + c^x)} \right]^{\frac{1}{x}}$$

Paso 1:
$\int \frac{x^5 - x^3 + x^2 - 1}{x^4 - x^3 + x - 1} \, dx$

Hallar el valor de A y B para que la función sea continua en $\mathbb{R}$.
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt[3]{x+6}-2}{x^3-8} & ; \quad x \geq 2 \\ Ax + B & ; \quad 1 < x < 2 \\ \frac{2x-1-x^6}{x^3-2x+1} & ; \quad x \leq 1 \end{cases}$$