Aprende con Inteligencia

Calcule la siguiente integral indefinida utilizando identidades trigonométricas y sustitución:
$$ \int \sin(4 \arctan(x)) \, dx $$

Paso 1:
Evaluar: $\displaystyle \int (3^{\log_3 x} - 2^{\log_2 x}) dx$

Calcular la integral del determinante de la siguiente matriz tridiagonal de orden 5:
$$ \int \begin{vmatrix} x & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & x \end{vmatrix} dx = \frac{x^6}{6} - x^4 + \frac{3x^2}{2} $$

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \sec^{3} x \, dx $$

Determinar el valor de la integral:
$$ \int_{0}^{10} \left\lfloor \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{\lfloor x \rfloor} \right\rfloor \, dx $$

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \sec^7 x \, dx $$

Evaluar:
$$ \int \tan^{-1}\left(\frac{\cos x}{1 - \sin x}\right) dx $$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{x \sqrt{5x^4 + 3}} $$

Calcule:
$$\int \frac{3 \log x - 1 + 2x}{x \log x + x^2 + 2x^4} \, dx$$

Paso 1:
Evaluar: $\int x^{n} e^{x} \, dx$

Calcular la integral:
$$ \int \left\{ \frac{(\log x - 1)}{1 + (\log x)^2} \right\}^2 dx $$
Nota: En este contexto, $\log x$ se refiere usualmente al logaritmo natural ($\ln x$). Al observar las opciones, corregimos el planteamiento para que coincida con la forma estándar: $\int \frac{\log x - 1}{(1 + (\log x)^2)} dx$ es poco común, la forma corregida por derivación es la opción (b).

(a) $\frac{xe^x}{1 + x^2} + c$      (b) $\frac{x e^x}{1 + (\log x)^2} + c$ \\
(c) $\frac{\log x}{1 + (\log x)^2} + c$      (d) $\frac{x}{1 + x^2} + c$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{(\cos x + 2)}{(1 + 2\cos x)^2} dx $$